Evaluación de $\sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+2}\right)$

Question

Evaluación de $$\sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+2}\right)$$

$\bf{My\; Try::}$ Aquí he solucionado usando Integración numérica,

Como $$\sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+2}\right)=\sum^{\infty}_{n=1}\int_{0}^{1}\left(x^{3n}-x^{3n+1}\right)dx$$

Así, obtenemos $$ = \int_{0}^{1}(1-x)\sum^{\infty}_{n=1}\left(x^{3n}\right)dx = \int_{0}^{1}\frac{(1-x)x^3}{1-x^3}dx=\int_{0}^{1}\frac{x^3}{x^2+x+1}dx$$

Entonces obtenemos la Suma de $$ = \sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+2}\right) = \int_{0}^{1}\frac{x^3}{x^2+x+1}dx = \frac{1}{18}\left(2\pi\sqrt{3}-9\right)$$

Mi Pregunta es ¿podemos resolver por encima de la suma sin Uso Definido de Integración, Si sí

Entonces, ¿cómo puedo solucionarlo, Ayuda requerida

Gracias

Answer 1

Un enfoque Euleriano. La función de $\sin(\pi x)$ tiene su ceros en los números enteros, por lo tanto la función de $f(x)=\sin\left(\frac{\pi}{3}(x+2)\right)$ tiene su ceros en las $\{ \ldots,-8, -5,-2,1,4,7,\ldots \}$. Desde que la serie de Taylor de $f(x)$ $x=0$ está dada por: $$ f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}x+O(x^2) $$ ocurre que:

$$ \lim_{n\to +\infty}\sum_{k=-n}^{n}\frac{1}{3k+1} = -\frac{[x^1]\,f(x)}{[x^0]\,f(x)} = \color{red}{\frac{\pi}{3\sqrt{3}}} $$

y el reclamo fácilmente de la siguiente manera. Podemos considerar a $f(x)$ como "una infinita-grado-polinomio" desde $\sin(z)$ es toda una función cuya Weierstrass producto no tiene un término exponencial. Con el mismo enfoque que usted puede ser el más general de identidad: $$ \sum_{n\geq 0}\left(\frac{1}{kn+1}-\frac{1}{k(n+1)-1}\right)=\frac{\pi}{k}\,\cot\left(\frac{\pi}{k}\right)$$ que se desprende también de la reflexión de la fórmula para la función digamma.

Answer 2

Así se puede reescribir su suma como : $$\tag{1}S=-\frac 12+\frac 1{\sin(2\pi/3)}\;\sum_{k=1}^\infty\frac {\sin(2\pi k/3)}{k}$$ (el $-\dfrac 12$ es de su suma de partida en $n=1$ e no $n=0$)
y el uso de la serie de Fourier de la onda de diente de sierra para obtener su resultado

o considere el $(1)$ $-\frac 12$ más que la parte imaginaria de : $$\frac 1{\sin(2\pi/3)}\;\sum_{k=1}^\infty\frac {\exp(2\pi k\,i/3)}{k}=\frac 1{\sin(2\pi/3)}\;\sum_{k=1}^\infty\frac {\left(\exp(2\pi \,i/3)\right)^{\;k}}{k}$$ que es \begin{align} \tag{2}S&=-\frac 12-\frac 2{\sqrt{3}}\;\Im\;\log(1-\exp(2\pi \,i/3))\\ &=-\frac 12-\frac 1{\sqrt{3}\;i}\;\log\frac{1-\exp(2\pi \,i/3)}{1-\exp(-2\pi \,i/3)}\\ &=-\frac 12-\frac 1{\sqrt{3}\;i}\;\log(\exp(-\pi \,i/3))\\ \end{align} y así $$\tag{3}\boxed{S=\frac {\pi}{3\sqrt{3}}-\frac 12}$$