Una pregunta sobre morfismos de campos

Question

Deje $A,B$ dos campos. Deje $\phi:A\rightarrow B$ $\psi:B\rightarrow A$ dos morfismos de campos. Puedo concluir que $A$ $B$ son isomorfos campos?

Supongo que sí, porque todos los morfismos de campos es inyectiva, por lo tanto, en este caso, $B$ contiene una isomorfo copia de $A$, lo que a su vez contiene una copia de $B$. Si esto es correcto, ¿cómo puedo formalizar?

Answer 1

Esta es una ocasión, cuando los instintos desarrollado a lo largo finito extensiones de (primer) campos de llevarlo por mal camino.

La primera contraejemplos que vienen a la mente necesita un poco de fondo de la teoría de curvas elípticas. Es muy posible que haya isogenies ida y vuelta entre los dos no es isomorfo curvas elípticas, $E_1$$E_2$. El isogenies dar lugar a incrustaciones entre la función correspondiente campos $K(E_1)$ $K(E_2)$ (tomemos, por ejemplo, $K=\mathbb{C}$ para evitar varios algebraica de las trampas). Sin embargo, si las dos curvas elípticas son no isomorfos, las funciones de los campos no ser isomorfos.