Mostrando un cierto subespacio del espacio de Hilbert es denso

Question

Vamos a H el espacio de Hilbert de la plaza-summable secuencias de reales.

Hace un par de años, pensé que me había demostrado que el subespacio Z de la real secuencias con sólo un número finito distinto de cero términos, que se suma a cero, es denso en H.

(Desde entonces lo he visto confirmado en Rudin del texto, el Análisis Funcional, 2ª ed., pero sólo como un teensy subquestion en un terminal peludo ejercicio.)

Ahora no puedo reproducir mi prueba, por lo que puede haber sido mal. Por favor alguien puede decirme cómo probar que.

(Lo que he probado estaba tomando un punto arbitrario c = (c₁,...,c_k,...) de H, y definir el punto d(N) en H como sigue para N $\ge$ 1:

En primer lugar establecer Una_N = (c₁+...+c_N) / N., a Continuación, establezca d(N)_k = c_k - _N k $\le$ N, y el conjunto d(N)_k = 0 para k > N.

Claramente, el elemento d(N) de H se encuentra en el subespacio Z definido anteriormente. El cuadrado de Hilbert norma de su diferencia con c es de la forma N(a_N)² + T(N), donde T(N) es simplemente el cuadrado de la norma de la cola de c, y así va a 0 como N$\to\infty$.

Me quedo con la expresión N(a_N)², que hasta ahora no he sido capaz de demostrar lo $\to$ 0 como N$\to\infty$. Sospecho que esto es cierto, y funciona en todos los ejemplos que he probado hasta ahora.)

NOTA: sólo estoy interesado en una abajo y sucio prueba de que no invoca nada simple de las desigualdades.

Gracias por cualquier ayuda que puede ofrecer.

Answer 1

Dado $x \in H$$\epsilon > 0$, $y \in H$ $\|x - y\| < \epsilon/2$ tales que sólo un número finito de elementos de $y$ son cero. Supongamos que la suma de esas distinto de cero elementos de $y$$s$. Considere la posibilidad de $z$ obtenido a partir de $y$ cambiando $n$ de sus elementos de$0$$-s/n$. Por lo tanto $z \in Z$, y $\|z - y\|^2 = n (s/n)^2 = s^2/n$. Si $n$ es lo suficientemente grande, este es menos de $(\epsilon/2)^2$. Por lo $\|x - z\| < \epsilon$. Llegamos a la conclusión de que $Z$ es denso en $H$.