Para $f$ Riemann integrable demostrar $\lim_{n\to\infty} \int_0^1x^nf(x)dx=0.$

Question

Supongamos $f$ es Riemann integrable de la función en $[0,1]$. Demostrar que $\lim_{n\to\infty} \int_0^1x^nf(x)dx=0.$

Esto es lo que estoy pensando: Fix $n$. Entonces, por la Desigualdad de Jensen tenemos $$0\leq\left(\int_0^1x^nf(x)dx\right)^2 \leq \left(\int_0^1x^{2n}dx\right)\left(\int_0^1f^2(x)dx\right)=\left(\frac{1}{2n+1}\right)\left(\int_0^1f^2(x)dx\right).$$Thus, if $n\to\infty$ then $$0\leq \lim_{n\to \infty}\left(\int_0^1x^nf(x)dx\right)^2 \leq 0$$ y por lo tanto tenemos lo que queremos. Cómo la correcta (o incorrecta) es este?

Answer 1

Si $f$ es Riemann integrable en $I$ entonces es acotada en $I$, es decir,$m \leq f \leq M$. Por lo tanto uno tiene

$$\eqalign{ & m\int\limits_0^1 {{x^n}dx} < \int\limits_0^1 {{x^n}f\left( x \right)dx} < M\int\limits_0^1 {{x^n}dx} \cr & \frac{m}{{n + 1}} < \int\limits_0^1 {{x^n}f\left( x \right)dx} < \frac{M}{{n + 1}} \cr} $$

Esto, con el teorema del sándwich demuestra la afirmación.

Answer 2

Dado $\epsilon$, elija $\delta$ $n$ tal que $x^n$ es pequeña para $0\le x\le1-\delta$ $\int_{1-\delta}^1f$ es pequeña.

Answer 3

Que se ve muy bien. Si alguien no sabe la desigualdad de Jensen, esto todavía es visto solo con Cauchy-Schwarz. Otro método rápido es el teorema de convergencia dominada. Gerry y Peters respuestas son tanto mucho más simple, aunque.

Answer 4

Sólo así la gente puede estar de acuerdo : Wikipedia dice que una función es Riemann integrable si y sólo si es acotada y continua en casi todas partes (sólo tipo Riemann integral en la wiki). Ya que la función "cuadrar" es continua y que la composición de función continua en un punto que se preserva la continuidad, $f^2$ es continua en casi todas partes, y así, una evidente obligado para $f^2$ es el límite para $f$, al cuadrado. El resto es atendido por $OP$'s de la prueba.

Espero que ayude,