En la clase de hoy, hemos tenido que encontrar una función generadora cerrada para $A_n=2n+1$ . La secuencia de los números naturales Impares. ¿Alguien tiene una idea?

Question

En la clase de hoy, hemos tenido que encontrar una función generadora cerrada para $A_n=2n+1$ , donde $n\in \mathbb{N}$ y $A_n$ es la secuencia de números naturales Impares. ¿Alguien tiene una idea? He intentado varias cosas pero no lo he conseguido.

Answer 1

Hice ciencia.

DISPOSICIÓN DE LA PRUEBA

Fig. 1 OBJETO DE PRUEBA, INSTRUMENTO DE MEDICIÓN Y SISTEMA DE ALIMENTACIÓN.

OBJETO DE PRUEBA

Ventilador de mesa DIMPLEX tipo GDCDF30 TMB. Con una potencia de 220-240V - 50 Hz, 40 W.

Fig. 2 PLACA DE NOMBRES DEL OBJETO DE PRUEBA

INSTRUMENTO DE MEDICIÓN

Medidor de potencia enchufable Efergy tipo EMS-AU. Precisión del vatímetro ±2% o ±1W.

Fig. 3 DETALLE DEL INSTRUMENTO DE MEDICIÓN

Fig. 4 INSTRUMENTO DE MEDICIÓN NAMPATA

DATOS DE LAS PRUEBAS

Speed setting     Power (W)     Power factor
      0              0 W             -
      1             24 W             94 %
      2             29 W            100 %
      3             35 W          100 - 97 % (flicks between these two values)

Todos los valores se leen después de dejar que el ventilador funcione con el ajuste de velocidad durante un minuto.

CONCLUSIONES

Las conclusiones de este estudio son las siguientes.

• La potencia nominal de 40 W es aproximada.

• Las configuraciones 1, 2 y 3 no dan una disminución lineal de la potencia consumida.

Nota, no tengo los medios para medir el trabajo realizado por el ventilador en el aire, ni la velocidad del aire de salida, por lo que no puedo hablar en cuanto a la total eficiencia del ventilador en términos de energía eléctrica convertida en aire en movimiento.

Answer 2

Considere $\displaystyle f(x)= x+x^3+x^5+x^7+\cdots= \frac x{1-x^2}$
Entonces $f'(x)=1+3x^2+5x^4+\cdots$ y : $$\left(\frac {x}{1-x^2}\right)'=\frac{2x^2}{(x^2-1)^2}-\frac{1}{x^2-1}=1+3x^2+5x^4+\cdots$$ y su función generadora es : $$1+3t^1+5t^2+\cdots= \frac{2t}{(t-1)^2}-\frac{1}{t-1}=\frac{t+1}{(t-1)^2}$$

Answer 3

Un enfoque alternativo es escribir una recurrencia para la secuencia y producir la función generadora a partir de la recurrencia. Claramente la recurrencia aquí es $A_n=A_{n-1}+2$ con la condición inicial $A_0=1$ . Si asumimos que $A_n=0$ para todos los enteros $n<0$ podemos utilizar el Soporte Iverson para prescindir de la condición inicial y escribir la recurrencia simplemente como $$A_n=A_{n-1}+2-[n=0]\;.$$ Ahora multiplica ambos lados por $x^n$ y sumar sobre $n$ para obtener la función generadora $f$ :

$$\begin{align*}f(x)=\sum_nA_nx^n&=\sum_n\left(A_{n-1}x^n+2x^n-[n=0]x^n\right)\\ &=\sum_nA_{n-1}x^n+2\sum_nx^n-\sum_n[n=0]x^n\\ &=x\sum_nA_{n-1}x^{n-1}+\frac2{1-x}-1\\ &=x\sum_nA_nx^n+\frac2{1-x}-1\\ &=xf(x)+\frac{1+x}{1-x}\;, \end{align*}$$

así que $$(1-x)f(x)=\frac{1+x}{1-x}\;,$$ y $$f(x)=\frac{1+x}{(1-x)^2}\;.$$