Pruebas con límites de funciones y sus derivadas

Question

Estoy trabajando en otro problema de análisis: Dejemos que $f$ sea una función diferenciable en un intervalo de la forma $(a,+\infty)$ . Demostrar que si hay un número $r > 0$ tal que $\lim_{x\to\infty}(rf(x)+f(x))=L$ es finito, entonces $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ y $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ .

He descubierto la prueba en el caso de que $r>0$ y $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existe y es distinto de cero y el caso en que $r<0$ y $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existe y es finito (es una aplicación bastante sencilla de la regla de L'Hôpital, una vez que se establece que se aplica). Sin embargo, no consigo demostrar que $\lim_{x\to\infty}f(x)$ debe existir. Tampoco sé dónde ir con el caso cero para $r>0$ y el caso infinito para $r<0$ .

Si sirve de ayuda, esto se encuentra en la sección sobre la Regla de L'Hôpital en el capítulo sobre derivados de la obra de Joseph L Taylor Fundamentos del análisis . Cualquier ayuda será bien recibida.

Answer 1

Hay una respuesta más sencilla que proviene de un truco bien documentado . Ver que \begin{align*} \lim_{x\to \infty} f(x) &= \lim_{x\to \infty} \frac{e^{x/r}f(x)}{e^{x/r}} \\ &= \lim_{x\to \infty} \frac{e^{x/r}(f'(x)+f(x)/r)}{e^{x/r}/r}\text{ (l'Hôpital)} \\ &= \lim_{x\to \infty} \frac{e^{x/r}(rf'(x)+f(x))}{e^{x/r}} \\ &= \lim_{x\to \infty} [rf'(x)+f(x)] \end{align*} Este truco también funciona en la solución que utiliza ecuaciones diferenciales, pero aquí se hace de forma implícita. Hay un gráfico aquí que justifica el uso de l'Hôpital.

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Para resolver este problema utilizando la teoría de las ecuaciones diferenciales, escribe $$rf'(x)+f(x) = L+\epsilon(x)$$ donde $\lvert \epsilon(x)\rvert$ es infinitamente pequeño, ya que $x\to \infty$ . La solución de esta EDO con condición inicial $f(x_0) = c$ es $$f(x) = e^{-x/r}\left(ce^{x_0/r}+\int_{x_0}^x \frac{L+\epsilon(\xi)}{r}e^{\xi/r}\,\mathrm{d}\xi\right)$$ Entonces, l'Hôpital y el teorema fundamental del cálculo nos dan $$\lim_{x\to \infty} f(x) = \lim_{x\to \infty} \frac{ce^{x_0/r}+\int_{x_0}^x \frac{L+\epsilon(\xi)}{r}e^{\xi/r}\,\mathrm{d}\xi}{e^{x/r}} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{L+\epsilon(x)}{r}e^{x/r}}{e^{x/r}/r} = \lim_{x\to \infty} [L+\epsilon(x)] = L$$ A partir de esto, podemos concluir que $\lim_{x\to \infty} f'(x) = 0$ .