La irreductibilidad y los pesos de una representación

Question

Por alguna razón no puedo entender bien esos temas (estoy leyendo los grupos de mentiras de Brian C. Hall, álgebras de mentiras y representaciones. Así que sólo son matrices). Intentaré reducirlo un poco más:

Irreducibilidad - He encontrado sólo un ejemplo de prueba que demuestra que la representación es irreducible y fue directo de la definición: que no contiene subespacios no triviales e invariantes. ¿Hay algún otro camino no muy avanzado? ¿Utilizando raíces/pesos?

Pesos - Sólo se dio un ejemplo en el libro, para el espacio de $sl(3, \mathbb {C})$ . Para este espacio, se eligió una base especial con $H_1 = diag(1,-1,0)$ y $H_2 = diag(0,1,-1)$ y luego los pesos son $ \mu = (m_1,m_2) \in \mathbb {C}$ de tal manera que $$ \pi (H_1)v = m_1v,$$ $$ \pi (H_2)v=m_2v.$$ ¿Cómo encuentro una "buena" base en general? La base trivial parece no funcionar en ese caso.

Y una última pregunta, sobre el peso más alto - he encontrado dos, posiblemente definiciones equivalentes y no estoy seguro de cuál usar:

1. Todos $v$ de tal manera que $ \pi (z)v = v$ y $z \in Z(G)$ cuando $Z(G)$ son las matrices triangulares con las que a lo largo de la diagonal en $GL_n$ .

2. (Libro) Por comparación de los pesos usando raíces positivas de una representación - $ \mu_1 > \mu_2 $ iff $ \mu_1 - \mu_2 = a \alpha_1 + b \alpha_2 $ cuando $ \alpha_1 , \alpha_2 $ son las raíces positivas y $a,b \geq 0$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

A) Las herramientas para probar la irreductibilidad dependen del escenario. Uno de los métodos más poderosos para las representaciones de grupos finitos es calcular la norma del carácter - la representación es irreducible si y sólo si la norma es 1 (Esto también funciona para grupos compactos de Lie, siempre que se conozca el carácter y la medida de Haar).

El resultado más relevante aquí sobre las representaciones de los grupos Lie es que las representaciones de mayor peso (es decir, las obtenidas aplicando raíces negativas al vector de mayor peso) son irreducibles. En la práctica, si se quiere saber cómo se descompone una representación dada en irreducibles (y en particular si es irreducible), basta con dibujar sus pesos (suponiendo que se pueda dibujar en el espacio r-dimensional, donde r es el rango:)), y descomponer el diagrama de pesos en diagramas de pesos de las representaciones de peso más altas, que se clasifican todos para simples álgebras Lie.

B) Obsérvese que los pesos de una representación, considerados como elementos de la doble $ \mathfrak {h}^*$ de la subalgebra de Cartan, no dependen de la base de $ \mathfrak {h}$ . Sin embargo, si quieres dibujarlas en un diagrama de peso, tienes que elegir una base para $ \mathfrak {h}$ que elige la base dual para $ \mathfrak {h}^*$ . Por ejemplo, la subálgebra de Cartan de $ \mathfrak {sl}(3)$ consiste en todas las matrices sin trazas de 3x3, así que una posible base es $$ \begin {pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {pmatrix}, \quad \begin {pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end {pmatrix} $$ No hay nada como una base buena o mala, aunque con algunas opciones (cuando la forma de matar es la identidad), los diagramas de peso se verán más simétricos.

C) El vector de mayor peso es el aniquilado por todas las raíces positivas (consideradas como elementos del álgebra Lie). Esta es sólo su definición (1) traducida del grupo Lie al ajuste del álgebra Lie. Para explicar su definición (2) desde este punto de vista, note que si una raíz positiva $ \alpha $ no aniquila un vector determinado con peso $ \beta $ el vector resultante tendrá peso $ \alpha + \beta $ lo que conduce a un mayor valor de $ \mu $ . Por lo tanto, un vector que maximiza $ \mu $ debe ser aniquilado por todas las raíces positivas. Obsérvese que en una representación de peso más alta (con un único vector de peso más alto), lo contrario también es cierto.