Es esta función surjective; infinita combinación lineal.

Question

Deje $A(t):[0,T] \rightarrow \mathbb{R^{n\times m}}$ ser función continua. Deje $$U = \text{span}\left( \bigcup_{t\in [0,T]} \text{span}(A(t)) \right)$$ Definir la función $f(u): L^\infty ([0,T],\mathbb{R}^m) \rightarrow U$ por: $$f(u) = \int_0^T A(t)u(t) dt$$ Es esta función surjective?

primera idea:

Si $u$ se les permite estar función delta, que para determinado $v\in U$ me llevaría número finito de veces $t_1,\dots,t_n$ y definen $u$$u(t) = \sum_i \delta_{t_i}(t) u_i$,$v = \sum_i A(t_i) u_i$.

Ya que no puedo tomar la función delta, me tomó sólo aproximaciones de ellos. Que puedo hacer sólo $f(u) = v \pm \epsilon$. El próximo encuentro $u_1$ que $f(u_1) = v-f(u) \pm \epsilon_1$. Y puedo seguir así. Así obtengo $f(u)+f(u_1)+\dots + f(u_n) = v \pm \epsilon_n$.

El problema es que no puedo demostrar que $u + \sum_n u_n$ convergen.

segunda idea:

Aproximado de $A(t)$ por la secuencia de funciones simples $A_n(t)$ que aún $U =\text{span}\left( \bigcup_{t\in [0,T]} \text{span}(A_n(t)) \right)$. Que uno puede encontrar $u_n(t)$ que $v=\int_0^T A_n(t)u_n(t) dt$. Pero Ahora me gustaría tomar convergente larga de $u_n$ pero no tengo idea de cómo. Supongo que uno tendría que elegir a $u_n$ en forma "correcta" de modo que tal convergente larga siquiera existen.

Answer 1

Sí, $f$ es surjective. $U$ es un subespacio de un número finito de dimensiones del espacio, por lo tanto finito-dimensional de la misma. Deje $d = \dim U$. Encontrar $d$ $0 \leqslant t_1 < t_2 < \dotsc < t_d \leqslant T$ y los índices de $k(i)$ tal que $\{ A(t_i)\cdot e_{k(i)} : 1 \leqslant i \leqslant d\}$ es una base de $U$. (Tenga en cuenta que si las columnas de a $A(t)$ son independientes, las mismas columnas serán independientes para todos los $s$ en un pequeño barrio de $t$, por lo tanto podemos elegir distintos puntos de las columnas distintas.)

Para $\varepsilon > 0$, vamos a $u_i^\varepsilon(t) = \frac{1}{2\varepsilon}\chi_{[t_i-\varepsilon, t_i+\varepsilon]}(t)\cdot e_{k(i)}$ (si $t_1 = 0$ o $t_d = T$, vamos a $u_1^\varepsilon$ resp $u_d^\varepsilon$ la cara analógica). Por lo suficientemente pequeño como $\varepsilon$, los intervalos de $[t_i-\varepsilon, t_i+\varepsilon]$ son distintos, y hemos

$$f(u_i^\varepsilon) \xrightarrow{\varepsilon \searrow 0} A(t_i)\cdot e_{k(i)}$$

para todos los $i$. Por lo tanto, la elección de $\varepsilon_0 > 0$ lo suficientemente pequeño, la familia $\{b_i : 1 \leqslant i \leqslant d\}$ donde $b_i = f(u_i^{\varepsilon_0})$ es linealmente independiente, por lo tanto, una base de $U$. Entonces

$$\sum_{i=1}^d c_i \cdot b_i = f\left(\sum_{i=1}^d c_i\cdot u_i^{\varepsilon_0}\right).$$