Dejemos que $\{a,b,c,d\}\subset[-1,1]$ tal que $a+b+c+d=0$ . Demuestra que: $$\sqrt{1+a+b^2}+\sqrt{1+b+c^2}+\sqrt{1+c+d^2}+\sqrt{1+d+a^2}\geq4$$ Intenté con Holder y más, pero sin éxito.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Martin
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Dejemos que $ {x,y,z}\in[-1, 1]$ y $x+y+z=0 $
Pruébalo: $$\sqrt{1+x+y^2}+\sqrt{1+y+z^2}+\sqrt{1+z+x^2}\geq 3$$ Prueba:
Primero lo mostraremos:
Si $ab\geq 0, $ entonces: $\sqrt{1+a}+\sqrt{1+a}\geq 1+\sqrt{1+a+b}$
Esto es obvio！ Tenga en cuenta que al menos dos de $ x+y^2, y+z^2 $ y $ z+x^2 $ tienen los mismos valores positivos y negativos。Sin pérdida de generalidad, suponemos: $(x+y^2)(y+z^2)\geq 0$ entonces tenemos: $$\sqrt{1+x+y^2}+\sqrt{1+y+z^2}+\sqrt{1+z+x^2}$$ $$\geq 1+\sqrt{1+x+y^2+y+z^2}+\sqrt{1+z+x^2}$$ $$=1+\sqrt{(\sqrt{1-z+z^2})^2+y^2}+\sqrt{(\sqrt{1+z})^2+x^2}$$ $$\geq 1+\sqrt{(\sqrt{1-z+z^2}+\sqrt{1+z})^2+(x+y)^2}$$ $$ =1+\sqrt{(\sqrt{1-z+z^2}+\sqrt{1+z})^2+z^2}$$
Así que, sólo hay que probar: $$(\sqrt{1-z+z^2}+\sqrt{1+z})^2+z^2\geq 4$$ $$\Longleftrightarrow 2z^2+2\sqrt{1+z^3}\geq 2$$ $$\Longleftrightarrow z^2(2-z)(z+1)\geq 0$$
Esto es claramente cierto porque $|z|\leq 1$ Se establece un signo igual si y sólo si $x=y=z=0$
Eso es todo, espero que te sirva.
PS :Aunque este método se puede utilizar, pero el cálculo es demasiado complejo que es casi imposible de completar. El caso de tres variables es un buen ejemplo, por lo que no voy a retirar la respuesta.
