Demuestre que la diferencia de dos cubos consecutivos nunca es divisible por $3$ .

Question

Aquí está mi prueba:

Dejemos que $n \in \Bbb Z$ . Entonces, $n$ es de la forma $2k$ (incluso) o $2k + 1$ (impar), para algunos $k \in \Bbb Z$ .

Sin pérdida de generalidad (no estoy seguro de poder usar esto), dejemos que $n = 2k$ .

Entonces, $n + 1 = 2k + 1$ . $$\begin{align} (n + 1)^3 - n^3 & = (2k + 1)^3 - (2k)^3 \\ & = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 - 8k^3 \\ & = 3(4k^2 + 2k) + 1 \end{align}$$

Dejemos que $m = (n + 1)^3 - n^3$ .

Entonces, $m = 1 + 3(4k^2 + 2k) \Rightarrow m \equiv 1 \pmod 3$ .

Por lo tanto, $\forall m$ cuando se divide por $3$ queda un remanente $1$ . Así que $(n + 1)^3 - n^3$ no es divisible por $3$ .

¿También tengo que probar esto para el otro caso en el que $n$ es impar, o esta prueba es suficiente?

Answer 1

$(n+1)^3 - n^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3(n^2 + n) + 1 \equiv 1$ (mod $3$ )

Answer 2

Esto también puede entenderse geométricamente.

Organice $n^3$ pequeños cubos en un gran cubo de lado $n$ y, a continuación, eliminar $(n-1)^3$ de ellos, dejando tres hojas planas de cubos que se encuentran en tres bordes.

Cada cubo que queda está en el interior de una de las tres hojas (y hay el mismo número de ellos en cada hoja) o en una de las aristas pero no en el vértice (de nuevo por simetría cada arista tiene el mismo número de cubos en ella), o es el cubo del vértice.

Por lo tanto, el número total de cubos que quedan debe ser tres veces algo, más un cubo en el vértice.

Answer 3

Sea, el número 1 = x entonces número 2 = x+1

(Si la diferencia de cubos es divisible por 3 entonces si modificamos ese valor por 3 debería dar recordatorio como 0).

Ahora, [Diferencia de cubos] mod 3 ,

= [(x+1)^3 - x^3] mod 3
= [x^3 + 3(x)(1)(x+1) + 1 - x^3] mod 3
= [3(x)(x+1) + 1] mod 3
= 1                         (because 3(x)(x+1) is always divisible by 3)

Así, el recordatorio será siempre 1.

Answer 4

La diferencia de un cubo al siguiente tiene un patrón los cubos de 1^3 a 10^3 son 1;8;27;64;125;216;343;512;729;1000 las diferencias son 7;19;37;61;91;127;169;217; 271 son todos múltiplos de 3+1 porque aumentan en múltiplos de 6 que serían también múltiplos de tres 7+12=19+18=37+24=61+30=91+36=127+42=169+48=217+54=271. ... Así que si empiezas con un número no divisible por 3 y añades un número que es divisible por 3 entonces obtendrás otro número no divisible por 3