Considere la posibilidad de la elíptica de la PDE:
$$-\Delta u= f(x) u. $$
Suponga que $f,u$ se definen en algunos razonable delimitado el dominio $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ e imponer la condición de contorno $u=0$ $\partial \Omega.$
En primer lugar, imaginemos $f\equiv \lambda \in \mathbb{R}.$, Entonces es un hecho que hay infinitamente muchos, discreto opciones de $\lambda$ de manera tal que esta ecuación tiene.
Quiero saber más general acerca de la estructura del conjunto de $f$ que admiten soluciones a la ecuación anterior.
En particular, es el conjunto de $f$ tales que la ecuación anterior tiene "excepcional" en algún sentido?
E. g. podría la siguiente declaración es verdadera? "para cualquier $f \in C^0(\Omega)$ que admite una solución a la ecuación anterior, existe $\epsilon>0$ que si $\|g-f\|_{C^0} < \epsilon$ $g$ admite también una solución de la ecuación, a continuación,$f \equiv g.$"
(N. B. de hecho, estoy interesado en el caso de que $f,u$ se definen en un circuito cerrado en el colector y $\Delta$ es la de Laplace-Beltrami operador, pero me han hecho la pregunta en la distancia Euclídea, ya supongo que esto es más familiar para la mayoría de la gente.)
