Si $|\beta \rangle = A(t) |\alpha \rangle$ en la imagen de Heisenberg, ¿no depende entonces $|\beta \rangle$ del tiempo?

Question

Sabemos que los estados son independientes del tiempo en la imagen de Heisenberg. Sin embargo, si aplico un operador a un estado en la imagen de Heisenberg, $$|\beta\rangle= A(t)|\alpha\rangle \equiv \exp(itH) A(0)\exp(itH)|\alpha\rangle$$ entonces el estado $|\beta\rangle$ será dependiente del tiempo. Sin embargo, los estados no son dependientes del tiempo en la imagen de Heisenberg. ¿Entonces, $|\beta\rangle$ ya no está en la imagen de Heisenberg?

En la imagen de Schrödinger, $A(t)$ sería $A$ pero $|\alpha\rangle$ ahora sería $\exp (-itH)|\alpha\rangle$ por lo tanto $|\beta\rangle$ sería $A\exp (-itH)|\alpha\rangle$

Answer 1

La afirmación de que "los estados son independientes del tiempo en la imagen de Heisenberg" puede ser un poco engañosa, por exactamente la razón que mencionas. Los estados no son medibles en la mecánica cuántica; solo los productos internos (o equivalente, elementos de matriz) lo son. Las imágenes de Schrödinger y Heisenberg son solo dos formas de agrupar mentalmente los términos en un elemento de matriz con paréntesis: no están completamente bien definidos cuando se piensa en bra y kets que no se han contraído completamente hasta escalares.

Entonces, la respuesta a tu pregunta es en gran medida cuestión de semántica. Personalmente, probablemente diría que en la imagen de Heisenberg, el ket dependiente del tiempo $A(t) | \psi_0 \rangle$ no debería ser considerado como un "estado", sino como una parte de un elemento de matriz "incompleto". Pero realmente depende de tu definición exacta de la palabra "estado", y no discutiría con alguien que prefiera usar palabras diferentes.

Answer 2

En la imagen de Schrodinger, sea $U$ el operador de evolución unitaria que corresponde al golpe repentino en la partícula; explícitamente sería $$U \sim e^{i F t_0 \hat{x}}$$ lo cual aplica una fuerza grande $F$ por un tiempo muy corto $t_0$. Dado un estado $|\psi \rangle$, $U |\psi\rangle$ es justo lo que ese estado sería justo después de ser golpeado.

En la imagen de Heisenberg, el significado físico de $U(t')$ es golpear una partícula en el tiempo $t'$. Es decir, si en la imagen de Heisenberg $U(t') |\psi\rangle = |\phi\rangle$ entonces en la imagen de Schrodinger, $$|\phi(t) \rangle = |\psi(t) \rangle \text{ después de que } |\psi\rangle \text{ sea golpeado en el tiempo } t', \quad |\psi\rangle = |\psi(0) \rangle, \quad |\phi\rangle = |\phi(0) \rangle.$$ Así que $|\phi \rangle$ sí depende del parámetro $t'$, el cual indica cuándo ocurrió el golpe. Pero $t'$ es solo un parámetro, que podría haber llamado $Q$ o $\mathfrak{X}$ o $\mathcal{R}$. El estado $|\phi \rangle$ sigue sin cambiar en el tiempo $t$, ya que está en la imagen de Heisenberg. (Podrías haber considerado en su lugar $U(t) |\psi\rangle$, pero esta es una cantidad no natural que no está en la imagen de Heisenberg.)

Para dar una analogía cotidiana, ¿cuánto dinero debes depositar en tu cuenta bancaria en el 2018 para ser tan rico como yo a largo plazo, siempre y cuando yo empiece con cierta cantidad de dinero, y planee depositar más en $t'$ años? La respuesta claramente depende de $t'$ porque eso cambia cuánto interés obtengo. Pero "la cantidad de dinero que necesitas depositar en el 2018" claramente no puede depender del tiempo.