De qué manera ha de física impulsó la invención de nuevas herramientas matemáticas?

Question

Me encontré con este comentario:

Matemática rigor no es un criterio que los físicos para la evaluación de sus teorías. Desde una perspectiva matemática, la no rigurosas teorías son mucho más interesantes: su falta de rigor es generalmente un reflejo de la insuficiencia de las actuales herramientas matemáticas para sus propósitos. Cuando una teoría es leído por un matemático, se ve obligado a inventar nuevas herramientas o utilizar las herramientas existentes de una manera que él nunca había pensado antes en el fin de hacer sentido de ella. Esto a su vez ha estimulado a muchos matemáticos avances y creado nuevos campos de estudio. Por ejemplo, muchos de los más importantes de la Seep (calor, onda, Laplace, Navier-Stokes, Schrödinger, etc.) se encontró por primera vez en la física.

(src: http://www.quora.com/Why-does-the-Feynman-path-integral-make-accurate-predictions-in-physics-even-though-it-is-not-rigorously-defined-mathematically/answer/Simon-Segert)

Tengo curiosidad ¿de qué otras maneras de física (o de otras actividades de física/científico/computacional de verdad) han provocado la creación de nuevas herramientas matemáticas para comprender y formalizar estas cosas. Es un ejemplo de Turing de la formalización de la computación, o de Shannon de la formalización de la información?

Answer 1

El análisis de Fourier, que tiene aplicaciones en campos tan diversos como la Pde y la teoría algebraica de números, tiene su origen en la física (que, en el momento, realmente no era tan distinta de las matemáticas como es ahora). El estudio de las ondas de calor y el flujo de plomo de Fourier y otros a la teoría de series trigonométricas.

Por ejemplo, trabajando formalmente usted puede demostrar que las soluciones a la ecuación del calor en la unidad de disco, con el límite de la función $f(\theta)$, debe ser de la forma $u(r,\theta) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_{n}r^{|n|}e^{in\theta}$ donde $a_{n} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx} \ dx$. En particular, si $f$ es lo suficientemente bueno, entonces debe ser el caso de que $f(\theta) = u(1,\theta) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_{n}e^{in\theta}$, que es una serie de Fourier. Esto lleva a la pregunta fundamental de análisis de Fourier: es una representación posible?

Answer 2

El direccionamiento de la Máquina de Turing:

La máquina de Turing no fue inventado debido a cualquier condición física o ciencias computacionales. De hecho, ellos se inventaron para resolver un problema de matemáticas.

Antes de la década de 1930, ciencias de la computación (como en la ciencia computacional teórica) no existe. Tan difícil como puede ser la de creer hoy en día, la gente no terminaba de entender lo que los algoritmos fueron pero las intuiciones estaban empezando a formar.

De hecho, la máquina de Turing fue inventado para resolver un problema de matemáticas. Incluso se podría argumentar que una máquina de Turing fue inventado para resolver un problema en la filosofía. Uno de los problemas de Hilbert (el llamado problema de decisión) fue vagamente indicado como: ¿existe un procedimiento mecánico para decidir si las declaraciones fueron comprobable en algunos de primer orden de la teoría. Hoy en día esto puede ser entendido como preguntando si existe un algoritmo para decidir la provability de una declaración. Pero antes de la década de 1930, numerosas personas como Gödel, Church y Kleene estaban proponiendo diversos modelos para qué "procedimiento mecánico" podría significar. El $\lambda$-cálculo, $\mu$-funciones recursivas, etc, fueron varias las matemáticas buscando y de la ecuación de aspecto formalización que apareció durante este tiempo. Sin embargo, Gödel (y otros) no estaba convencida de que filosóficamente estos matemático-buscando modelos de captar lo "mecánico significaba". Gödel no estaba convencido de sus propios modelos capturados de esta noción. Luego de Turing propuso su máquina de Turing en 1936 en su solución de Hilbert Decisión del problema. La máquina de Turing no se asemeja de forma recursiva formado funciones o ecuaciones. La máquina de Turing en realidad se asemeja a una persona a escribir, borrar y mover a lo largo de un pedazo de papel. Gödel y otros estaban convencidos de que una máquina de Turing fue un buen modelo de un ser humano haciendo cálculos. Posteriormente se comprobó que la máquina de Turing es equivalente a la de muchos de los más ecuacional-buscando modelos propuestos por Gödel, de la Iglesia, y otros investigadores.

Turing no fue inventada para resolver cualquier problema físico en la ciencia. Se inventó para resolver un problema de matemáticas, que jugó un gran papel en la comprensión moderna del algoritmo. Hay un fuerte argumento para decir que la máquina de Turing es un ejemplo de cuando matemáticas crea otro campo de la ciencia: la ciencia computacional.

Answer 3

Ok, un semi no estúpido respuesta...

Wavelets y la transformada wavelet se inventó en el mismo sentido como el de Newton y de Leibniz del cálculo, un físico y un matemático en torno a la misma hora (a pesar de que muchos argumenta que Newton bruscamente sustraído el reconocimiento de Leibniz la contribución de cálculo después de su temprana muerte)

En Mallat del libro, una Wavelet Tour de Procesamiento de Señales, indica que la necesidad de más estudios en mecánica cuántica a través del tiempo-frecuencia de la localización de reconocer por Gabor en 1946 donde se define algo que se llama un tiempo-frecuencia átomo - de una forma de onda que tiene una mínima difusión en tiempo-frecuencia de avión.

Su idea condujo al desarrollo de la transformada de wavelet, de los cuales el primero fue creado por otro físico llamado Morlet que la intención de utilizarlo para alta frecuencia de las ondas sísmicas, y Grossmann, también físico, en su estudio coherente de estados cuánticos.

Sin duda, la transformada wavelet se ve ahora en las luces como una herramienta de ingeniería (JPEG2000 ¿alguien?) que se basa en las matemáticas puras a partir de la contribución de Daubechie (famoso por el Daubechie de la familia de la madre de wavelets y Diez Conferencias), quien declaró a sí misma en un reciente video de youtube que ella es un matemático puro. Pero cuando pasamos a través de la historia de la wavelet, nos encontramos con que la mayoría de la motivación vino originalmente de la física.

Answer 4

Teoría de Gauge es un ejemplo donde uno ve la física estimulando el desarrollo de nuevos matemáticas. Hace 15 años Seiberg y Witten basado en intuiciones procedentes de la física propone una nueva y poderosa manera de hacer teoría de gauge y, en particular, casi banalizar anteriores resultados impresionantes de los Campos de la medalla de calibre, tales como Donaldson es diagonalisation resultado de 4-variedades con definitiva de la intersección de formas; véase este artículo para una discusión.

Answer 5

Es esta pregunta, posiblemente, un superconjunto de "cuando se tienen los físicos han matemáticas cosas nombrado después de ellos" ?

Feynman es un físico, y él y Kac han Feynman-Kac teorema que enlace ecuaciones en derivadas parciales con procesos estocásticos. FK Teorema se utiliza en matemáticas de finanzas para derivar uno de los resultados más importantes: Black-Scholes-Merton Fórmula, utilizado en la fijación de precios de derivados financieros.

Porque yo no lo entiendo bastante bien, no puedo explicarlo simplemente (o a la inversa?) :(

Pero supongo que Feynman y/o Kac encontrado algunas partículas que siguió el movimiento Browniano (que los precios de las acciones que a veces se asume siga) entonces se le ocurrió.

Para más información,

http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion#Modeling_using_differential_equations http://en.wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_process