Encontrar el máximo de la función

Question

Encontrar el máximo de la función:

$$f(x)=\sin x+\sin\left(\frac{1}{x}\right) \quad x>0$$

Yo :

$$f'(x)=\cos x-\dfrac{\cos(\frac{1}{x})}{x^2}=0 \\\cos x= \dfrac{\cos(\frac{1}{x})}{x^2} \ \ \ \\x^2\cos x=\cos\left(\frac{1}{x}\right)$$

Ahora, ¿qué hago ? Por favor, ayúdame!

Answer 1

Para $x \in [0;2/\pi]$, $f(x) \le 1+\sin(x)\le 1+\sin(2/\pi)\le 1.6 \le f(1)$

Para $x \ge 2$, $f(x) \le 1+\sin(1/x)\le 1+\sin(0.5)\le 1.6 \le f(1)$

Ahora sólo tienes que estudio $f$ $[0.6;2]$ y usted encontrará que $f(1)$ es el máximo

Answer 2

Para $x>\frac{\pi}{2}\pi$ obtenemos: $$f(x)<1+\frac{2}{\pi}<2\sin1.$$ También, para $0<x<\frac{\pi}{6}$ hemos $$f(x)<1+\frac{\pi}{6}<2\sin1.$$

Ahora, $f''(x)<0$ todos los $x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right]$ $f'(1)=0,$ que dice que $2\sin1$ es la respuesta.