¿Es un conjunto aleatorio de cardinalidad intermedia no medible con probabilidad uno?

Question

Supongamos que la hipótesis del continuo falla, por lo que tenemos algún cardinal intermedio $d$ con $\omega < d < c$ . Elija un subconjunto aleatorio $S \subset [0,1]$ de cardinalidad $d$ por muestreo $d$ Puntos uniformes i.i.d.

Intuitivamente, parece que $S$ será no medible con probabilidad uno. Es decir, casi todos los subconjuntos de cardinalidad intermedia de $[0,1]$ no son medibles. Esto se debe a que su medida exterior es 1, y la medida exterior del complemento es 1, ambas con probabilidad 1.

Por desgracia, no estoy seguro de que esta afirmación pueda formalizarse. El proceso aleatorio que genera $S$ es sólo un producto de variables aleatorias, así que esa parte es fácil. Sin embargo, no es obvio que el conjunto de conjuntos medibles sea a su vez medible, sin lo cual no se puede afirmar la afirmación.

¿Puede formalizarse adecuadamente esta afirmación en un teorema verdadero?

Answer 1

En primer lugar, es coherente con $ZFC+\neg CH$ que todo subconjunto de $[0,1]$ de cardinalidad inferior a $\mathfrak{c}$ es medible. Esto se deduce del axioma de Martin, por ejemplo.

Sin embargo, aunque no todos esos conjuntos sean medibles, la afirmación por la que preguntas nunca será cierta. Como has adivinado, el problema es poder medir el evento en cuestión. Usted está considerando (la finalización de) el producto $\sigma$ -en el espacio muestral $[0,1]^d$ y cada elemento del producto $\sigma$ -depende sólo de un número contable de factores. Es decir, si $A\subseteq[0,1]^d$ está en el producto $\sigma$ -hay un subconjunto contable $C\subset d$ tal que $A=A_0\times[0,1]^{d\setminus C}$ para algunos $A_0\subseteq[0,1]^C$ .

Ahora bien, si el evento de $S$ siendo no medible debían tener probabilidad $1$ tendría que contener algún conjunto $A$ en el producto $\sigma$ -que también tiene probabilidad $1$ . Pero de hecho, este evento contiene no conjuntos no vacíos en el producto $\sigma$ -Álgebra en absoluto. De hecho, si contuviera tal conjunto no vacío, eso significaría que habría algún subconjunto contable $S_0$ de $[0,1]$ tal que todo subconjunto $S$ de cardinalidad $d$ que contiene $S_0$ no es medible. Esto es imposible (ya que siempre se puede añadir $d$ elementos del conjunto de Cantor a $S_0$ para obtener un conjunto medible, por ejemplo).

Obsérvese que suponiendo que no todos los conjuntos de cardinalidad $d$ son medibles, el mismo argumento se aplica al caso de que $S$ es medible. Por lo tanto, en dicho modelo, el evento de $S$ siendo medible es efectivamente no medible: ni ella ni su complemento contienen ningún conjunto no vacío en el producto $\sigma$ -¡Álgebra!