Suma doble con factoriales

Question

Encuentre el valor de $\displaystyle \sum_{m=1}^\infty \sum^{\infty}_{n=1}\frac{m\cdot n}{(m+n)!}$ .

Mi intento: $$\sum^{\infty}_{m=1}\bigg(\frac{m}{(m+1)! }+\frac{2m}{(m+2)!}+\cdots\cdots +\frac{m+\infty}{(m+\infty)!}\bigg)$$

No entendí cómo iniciarlo.

Me vendría bien algo de ayuda. Gracias.

Answer 1

Obsérvese que al dejar $k=m+n$ , tenemos que (los términos se pueden ordenar porque son no negativos), $$\begin{align} \sum^{\infty}_{m=1}\sum^{\infty}_{n=1}\frac{m\cdot n}{(m+n)!} &=\sum^{\infty}_{k=2}\frac{1}{k!}\sum_{n=1}^{k-1}n(k-n)= \frac{1}{6}\sum^{\infty}_{k=2}\frac{k^3-k}{k!}\\&=\frac{1}{6}\sum^{\infty}_{k=2}\frac{k(k-1)(k-2)+3k(k-1)}{k!}\\ &= \frac{1}{6}\sum^{\infty}_{k=3}\frac{1}{(k-3)!}+\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{k=2}\frac{1}{(k-2)!}\\ &=\frac{e}{6}+\frac{e}{2}=\frac{2e}{3}.\end{align}$$

Answer 2

Los enfoques más hábiles ya han sido esbozados por Marco y Robert, así que mostraré una exageración sólo por diversión. Para cualquier $n\in\mathbb{N}$ tenemos $\frac{1}{n!}=[z^n]e^z = \frac{1}{2\pi i}\oint \frac{e^z}{z^{n+1}}\,dz $ Por lo tanto

$$ \sum_{m,n\geq 1}\frac{mn}{(m+n)!}=\frac{1}{2\pi i}\oint\sum_{m,n\geq 1}\frac{m}{z^m}\cdot\frac{n}{z^n}\cdot\frac{e^z}{z}\,dz=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{z e^{z}}{(1-z)^4}\,dz $$ y $$ \sum_{m,n\geq 1}\frac{mn}{(m+n)!}=\operatorname*{Res}_{z=1}\frac{z e^z}{(1-z)^4} =\color{red}{\frac{2e}{3}}.$$

Answer 3

Tenemos $$\sum_{m\geq1}\sum_{n\geq1}\frac{mn}{\left(n+m\right)!}=\sum_{m\geq1}\frac{1}{\left(m-1\right)!}\sum_{n\geq1}\frac{n}{\left(n-1\right)!}\int_{0}^{1}t^{m}\left(1-t\right)^{n-1}dt$$ $$=e\int_{0}^{1}t\left(2-t\right)dt=\color{red}{\frac{2}{3}e}$$ donde el intercambio de la serie y la integral se justifica por la teorema de convergencia dominada .

Answer 4

Uso de funciones generadoras: empecemos con $$F(x, y) = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{x^m y^n} {(m+n)!}.$$ Si agrupamos los términos con $m+n = k$ obtenemos $\frac{1}{k!} (x^k + x^{k-1} y + \cdots + y^k) = \frac{1}{k!} \cdot \frac{x^{k+1} - y^{k+1}}{x-y}$ . Por lo tanto, $$F(x,y) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot \frac{x^{k+1} - y^{k+1}}{x-y} = \frac{x e^x - y e^y}{x-y}.$$ Ahora, $$F_{xy}(x,y) = \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{mn}{(m+n)!} x^{m-1} y^{n-1}.$$ Así, la suma original es igual a $F_{xy}(1, 1)$ . A partir de aquí, sería un cálculo sencillo pero tedioso encontrar una fórmula de forma cerrada para $F_{xy}$ . Eso dará una fracción con $(x-y)^3$ en el denominador; sin embargo, no es difícil ver que $F_{xy}$ debe ser continua en $(1,1)$ , por lo que se puede calcular el valor en $(1,1)$ como límite de este cociente como $(x,y) \to (1,1)$ . (Por ejemplo, sustituyendo primero $x=1$ desde $\{ (1,y) \mid y \ne 1 \}$ tiene un punto de cluster en $(1,1)$ y, a continuación, utilizando tres veces la regla de l'Hopital o expandiendo una serie de Taylor sobre $y=1$ debería funcionar). Esto dará la respuesta final $\frac{2}{3} e$ .

Por ejemplo, en una sesión de Maxima, obtengo (con un poco de edición manual de la transcripción):

(%i1) diff(diff((x*exp(x)-y*exp(y))/(x-y),x),y);

(%i2) limit(limit(%o1,x,1),y,1);
          2 %e
(%o2)     ----
           3

Answer 5

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{m = 1}^{\infty}\sum_{n = 1}^{\infty}{mn \over \pars{m + n}!} & = \sum_{m = 1}^{\infty}\sum_{n = 1}^{\infty}{mn \over \pars{m - 1}!\, n!}\,{\Gamma\pars{m}\Gamma\pars{n + 1} \over \Gamma\pars{m + n + 1}!} \\[5mm] & = \sum_{m = 1}^{\infty}\sum_{n = 1}^{\infty} {m \over \pars{m - 1}!\pars{n - 1}!} \int_{0}^{1}t^{m - 1}\pars{1 - t}^{n}\,\dd t \\[5mm] &= \int_{0}^{1}\sum_{m = 1}^{\infty}{m\, t^{m - 1} \over \pars{m - 1}!} \sum_{n = 1}^{\infty}{\pars{1 - t}^{n} \over \pars{n - 1}!}\,\dd t \\[5mm] & = \int_{0}^{1}\underbrace{\sum_{m = 0}^{\infty} {\pars{m + 1}t^{m} \over m!}}_{\ds{=\ \expo{t}\pars{1 + t}}}\ \underbrace{\sum_{n = 0}^{\infty}{\pars{1 - t}^{n + 1} \over n!}\,\dd t} _{\ds{=\ \expo{1 -t}\pars{1 - t}}} \\[5mm] & = \expo{}\int_{0}^{1}\pars{1 - t^{2}}\,\dd t = \bbx{{2 \over 3}\,\expo{}} \approx 1.8122 \end{align}