Deje $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser un tres veces derivable la función. Demostrar que no existe $a \in [-1,1]$ tal que $$ f'''(a) = 3f(1)-3f(-1)-6f'(0)$$
Cualquier sugerencia/idea sobre cómo abordar este problema? Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Me gustaría uso del teorema de Taylor con Lagrange del resto.
Existe $\xi_1\in$ un intervalo cerrado que contiene a $a$ $x$ tal forma que:
$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)(x-a)^2}{2}+\frac{f'''(\xi_1)(x-a)^3}{6}$$
Ahora existe una $a_1\in [0,1]$ tal que $$f(1)=f(0)+f'(0)(1-0)+\frac{f''(0)(1-0)^2}{2}+\frac{f'''(a_1)(1-0)^3}{6} \tag{1}$$ De nuevo existe $a_2\in [-1,0]$ tal que $$f(-1)=f(0)+f'(0)(-1-0)+\frac{f''(0)(-1-0)^2}{2}+\frac{f'''(a_2)(-1-0)^3}{6} \tag{2}$$
Restar $(1)$$(2)$, $$3f(1)-3f(-1)-6f'(0)=\frac{f'''(a_1)+f'''(a_2)}{2}$$
Podemos demostrar que existe una $a\in [a_1,a_2]$ tal que $$f'''(a)=\frac{f'''(a_1)+f'''(a_2)}{2} \tag{3}$$
La reescritura tenemos una $a\in [a_1,a_2]$ tal que $$f'''(a) = 3f(1)-3f(-1)-6f'(0)$$
(El uso de la propiedad de Darboux para demostrar $(3)$. Como de costumbre, la parte más difícil se deja para el lector! En un segundo pensamiento, pensé que debía escribir una sugerencia. Suponga $f'''(a_1)\le f'''(a_2)$ y observe $f'''(a_1)\le \frac{f'''(a_1)+f'''(a_2)}{2} \le {f'''}(a_2)$ y el interruptor de $a_1$ $a_2$ a completar la prueba)
