$\mathbb{P}(O\oplus O(-1))\simeq \mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1$?

Question

Deje $X=\mathbb{P}^1$. Estoy buscando en $\mathbb{P}(O_X\oplus O_X(-1))$ y puedes ver que es el golpe de la proyectiva del plano en un punto. También veo que es un $\mathbb{P}^1$-paquete de más de $X$, pero no puedo ver si es isomorfo a $\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1$ o no. ¿Alguien puede dar algo de perspectiva?

Answer 1

Cualquier $\Bbb P^1$ $\Bbb P^1\times \Bbb P^1$ $0$ auto-intersección (trivial normal bundle). El divisor excepcional en el blow-up ha auto-intersección $-1$ y el hyperplane clase de auto-intersección $1$.

Answer 2

Como algo de un lado: para obtener $\mathbb P^1\times \mathbb P^1$$\mathbb P^2$, estallar el avión en dos puntos, y luego soplar la adecuada transformación de) la línea que une los dos soplado puntos.

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También, la sección de Hartshorne Ch. V discusión de las superficies regladas se describe muy detalladamente cómo los invariantes de la línea bundle $\mathcal L$ (en algunos curva, por ejemplo,$\mathbb P^1$) se refieren a la geometría de $\mathbb P(\mathcal O_C \oplus \mathcal L).$ es posible Que desee buscar en esa sección para obtener más ideas e intuiciones acerca de cómo investigar este tipo de pregunta.