Estoy estudiando la teoría de grupos y la tabla de caracteres de $S_2$ se da en el libro. Pero, ¿cómo obtener esta tabla no se da.
Puede alguien explicar exactamente cómo construir esta tabla?
Respuesta
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Jonik
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S2 es un grupo con dos elementos, llame a 1 y t. Una representación de S2 se 1 a la matriz de identidad y t a la matriz, por lo que podemos pensar de representaciones X de S2 como simplemente un poco de la matriz X(t). Por supuesto, no cualquier matriz va a hacer, ya que X es un homomorphism y por lo $(X(t))^2 = X(t^2) = X(1)$ tiene que ser la matriz identidad. En otras palabras, X(t) tiene que ser una matriz cuyo cuadrado es la identidad. Todos sus autovalores también tienen a la plaza a la identidad, de manera que todos son ±1. Teniendo en cuenta la forma canónica de Jordan de X(t), se puede ver que X(t) debe ser diagonalizable (ya que un gran bloque de Jordan no de la plaza a la identidad).
Por supuesto, si diagonalize X(t), entonces cada uno de los estándares subespacios es un subespacio invariante, por lo que X sólo es irreducible si es unidimensional.
Sin embargo, no son muy numerosos de 1×1 matrices cuyos autovalores son sólo ±1. Son X1(t) = [1] y X2(t) = [-1]. Estos son los dos representaciones irreducibles de S2, por lo que hemos encontrado en todos ellos. Escribir sus huellas, se obtiene:
$$\begin{array}{r|rr} S_2 & 1 & t \\ \hline X_1 & 1 & 1 \\ X_2 & 1 & -1 \end{array}$$
Similares ideas de trabajo para cualquier finito abelian grupo. Uno toma un mínimo de generación del sistema y asigna arbitrariamente apropiado raíces de la unidad para los generadores, dando una dimensión irreductible de la representación de cada elemento del grupo.
