Correlación cero entre $x$ y $y = f(x)$ ?

Question

Sea $x,y$ sean dos variables funcionalmente relacionadas, de modo que $x$ determina $y$ :

$$y = f(x)$$

para alguna función $f$ . Consideramos una distribución de probabilidad sobre $x$ , $p(x)$ . La cuestión es:

¿Es posible, para alguna distribución de probabilidad $p(x)$ que la correlación entre $x$ y $y$ ¿Desaparece? Así es,

$$\mathrm{cov}(x,f(x)) = \langle x f(x) \rangle - \langle x\rangle \langle f(x) \rangle = \sum_x xf(x)p(x) - \left(\sum_x xp(x)\right) \left(\sum_x f(x)p(x)\right) = 0$$

En otras palabras, dada una función $f$ ¿es posible seleccionar una distribución de probabilidad $p$ tal que $\mathrm{cov}(x,f(x)) = 0$ ?

La respuesta es sí al menos en un caso trivial, cuando $f(x) = c$ es un número constante. Este caso es trivial en el sentido de que cualquier $p$ lo hará. ¿Hay más ejemplos interesantes? ¿O teoremas generales?

Answer 1

Existen tres posibilidades mutuamente excluyentes para $f$ (aparte de la trivial en la que el dominio de $f$ sólo tiene un elemento). Para ser totalmente generales y evitar complicaciones triviales, no nos preocupemos por la correlación, sino que centrémonos en covarianza en cambio: cuando la covarianza es cero, la correlación es cero o indefinida. (La correlación se vuelve indefinida cuando la varianza de cualquiera de las distribuciones marginales es cero).

1. $f$ no es inyectiva. Supongamos que existe $x_1 \lt x_2$ para lo cual $f(x_1)=f(x_2)$ . Poniendo probabilidades de $1/2$ en cada uno de $x_1$ y $x_2$ da una covarianza nula (y una correlación indefinida).

2. $f$ es inyectiva pero no monótona. En caso contrario, supongamos que existe $x_1\lt x_2 \lt x_3$ para los que el $y_i=f(x_i)$ no están en orden. Dado que la covarianza no cambia con las traslaciones, facilite los cálculos desplazando la $x$ y $y$ coordenadas para que $x_2=y_2=0$ . La hipótesis equivale a $x_1\lt 0,$ $x_3\gt 0$ y $y_1$ y $y_3$ tienen el mismo signo. Definir $C(p)$ que es la covarianza obtenida al poner las probabilidades de $p$ en $x_1$ , $1/2-p$ en $x_3$ y $1/2$ en $0$ . $C$ es claramente una función cuadrática de $p$ y, por tanto, es continua.

   Compute $$C(0)=\frac{1}{4}x_3y_3,\ C(1/2)=\frac{1}{4}x_1y_1.$$ Los supuestos implican $C(0)$ y $C(1/2)$ tienen signos opuestos. El Teorema del Valor Intermedio implica que hay algún $p\in (0,1/2)$ para lo cual $C(p)=0$ utilizar este valor de $p$ para conseguir una covarianza cero. La correlación será definida y cero.

3. $f$ es monótona. En caso contrario $f$ es estrictamente monótona (creciente o decreciente). A partir del caracterización de la covarianza como un área con signo esperado, es obvio que todas las covarianzas deben ser estrictamente positivas o estrictamente negativas cuando la probabilidad no es un átomo. La correlación será b

Answer 2

La respuesta es no si $f$ es afín-lineal. Esto es por la linealidad y la traducción de la invariancia de la covarianza.