Planicidad después de dividir un ideal primo mínimo

Question

Dejemos que $A \hookrightarrow B$ sea una extensión de generación finita, reducida $k$ -algebras, donde $k$ es un campo de característica cero tal que $B$ es un programa gratuito $A$ -de rango finito. Sea $A$ sea un dominio integral y que $\mathfrak{p}$ sea un ideal primo mínimo de $B$ .

¿Puede darme un ejemplo de una situación tal que $A \hookrightarrow B/ \mathfrak{p}$ no es plana?

Answer 1

He aquí un contraejemplo: considere los primos homogéneos en $k[x,y,z,w]$

$$P_1 := (xw-yz, x^2z-y^3,w^2y-z^3,xz^2-wy^2) \\ P_2 := (xw-yz,x^2y-z^3,w^2z-y^3,xy^2-wz^2)$$

Entonces $P_1 \cap P_2 = (xw-yz, y^2z^2-xyzw)$ tiene altura $2$ (como $xw-yz$ es primo). Tomemos una normalización de Noether graduada $A := k[X,Y] \subseteq B := k[x,y,z,w]/(P_1 \cap P_2)$ . Desde $A$ es un anillo polinómico, si $A'$ es de grado estándar con $A \subseteq A'$ módulo-finito, entonces $A'$ es $A$ -plano si $A'$ es $A$ -libre si $A'$ es Cohen-Macaulay. Ahora $B$ es CM (incluso una intersección completa), pero tampoco $B/P_1$ ni $B/P_2$ son CM.

La geometría algebraica proyectiva pertinente: una curva en la superficie cuádrica $Q = V(xw-yz) \subseteq \mathbb{P}^3$ tiene un bidegrado $(a,b)$ y es ACM si $|a - b| \le 1$ . Combinación de curvas de tipo $(1,3)$ y $(3,1)$ en $Q$ da una curva de tipo $(4,4)$ en $Q$ que es la intersección completa de $Q$ con una hipersuperficie cuártica. El ejemplo anterior se obtiene tomando la curva cuártica racional, una curva particular (irreducible) de tipo $(1,3)$ en $Q$ con el ideal dado por ( $4$ de la $6$ ) $2 \times 2$ menores de

$$\begin{pmatrix} x & z & y^2 & wy \\ y & w & xz & z^2 \end{pmatrix}$$

y la curva dual de tipo $(3,1)$ que se obtiene al cambiar $y$ y $z$ .