Raza y definición del terrorismo

Question

Una función de $f$ se define como un conjunto de pares ordenados $(x, y)$ tal que $(x,b), (x,c) \in f \Longrightarrow b=c$. Desde $y$ está determinado únicamente por la $x$, es habitualmente se denota $f(x)$.

Una de las dificultades que estoy teniendo con esta definición es que no se especifique el codominio. En particular, $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ tal que $f(x)=\exp(x)$ $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $g(x) = \exp(x)$ serían las mismas funciones en virtud de esta definición.

Pero esto es absurdo. Uno es bijective, el otro no lo es.

Answer 1

Respuesta corta

En la teoría de conjuntos, la definición de estado es la norma. Para el resto de las matemáticas, la definición adecuada es que una función es un triplete $(f,A,B)$ donde $f$ es como usted afirma, $A$ es el dominio de la relación $f$ $B$ es un superconjunto de la gama de la relación $f$.

Todo esto es por lo general implícita, informal y unformalized.

Respuesta larga

En matemáticas a veces es el caso que un determinado concepto se define en varios diferentes y nonequivalent maneras, en diferentes contextos y/o por diferentes personas. Un ejemplo de esto es el concepto de polinomio (que puede ser visto como una secuencia infinita, una secuencia finita, una expresión, etc).

Otro ejemplo es el concepto de función (es decir, la idea intuitiva de lo que una función es y cómo se comporta).

Dado un conjunto $G$, abreviar la propiedad $$\forall (x,y),(x,z)\left((x,y),(x,z)\in G\implies y=z\right)$ $ "por lafunción de la propiedad".

Conjunto de los teóricos de definir la función como cualquier conjunto o pares ordenados con la función de la propiedad.

Algunos algebraists definir la función como el conjunto de los teóricos y otros lo definen como un triplete $(f,A,B)$ donde $f$ es un subconjunto de a $A\times B$ con la función de la propiedad de tal manera que el dominio de la $f$ (es decir, el conjunto de las primeras coordenadas de los pares ordenados en $f$) $A$ y el rango de $f$ (es decir, el conjunto de la segunda de las coordenadas de $f$) es un subconjunto de a $B$. En lugar de $(f,A,B)$ es habitual escribir $f\colon A\to B$.

La mayoría de los analistas no definir la función.

Cada persona define la función que se adapte a sus necesidades mejor. En la teoría de conjuntos no es necesario para el triplete en la definición, en el Álgebra es más pertinente utilizar el triplete definición. Los analistas rara vez sienten la necesidad de preocuparte por los detalles de la definición de la función (hasta el punto de que, para ellos, una función invertible es una función inyectiva).

Lo importante es que la definición adecuadamente abarca el concepto de función y sirve a su propósito en el contexto en el que está siendo utilizado.

Qué hizo usted en su pregunta era escoger una función, como ha sido previsto por el analista o algebrista y argumentar utilizando la definición de un conjunto teórico de la usaría. No hay ningún error en su razonamiento.

Si desea utilizar una definición de función que es apropiado para un ámbito mayor de sujetos, el uso de la terna de la definición (pero tendrá poco que ganar en la teoría de conjuntos, se acaba de crear paja).

Answer 2

$f$ $g$ son de hecho los mismos objetos, establecer teóricamente. Esto muestra que el codominio no es intrínseca a la función y por lo tanto no son nociones de surjectivity, etc. Pero esto está bien siempre y cuando se especifique un codominio; luego surjection está bien definido. Es muy fácil de codificar la elección del codominio, acaba de decir que una función es un subconjunto de a $X \times Y \times \{Y\}$... o algo así.

Answer 3

No hay ningún absurdo. La función es el conjunto de pares, pero dicen que una función $f:A\to B$ es surjective (bijective) DE a A B no es lo mismo que decir $f$ es surjective (bijective), que, cuando se utiliza esta definición n de la función, no tiene sentido. En esta definición n de una función, se debe tener cuidado con el lenguaje cuando se habla de surjective o bijective funciones.

Answer 4

Contextos donde el codominio no entra en la definición de un mapa son aquellos en los cuales el mapa de la composición no necesitan ser tomados en consideración. Un objeto definido de esta manera, es a menudo más correctamente llamado "gráfico de un mapa" o "paramétricas set", donde un conjunto es el conjunto de imágenes (como en el caso de, por ejemplo, superficies paramétricas). Por otro lado, en el mapa de las composiciones de un grado de libertad en la elección de la codominio para el primer mapa es para el bien definedness de composiciones de sí mismos. Así, en estos contextos, codominio debe ser una parte integral de la definición de mapa.