Grandi de la Serie; tiende a $1/2$, pero, ¿por qué se considera válida la suma?

Question

Grandi de la serie,

$$1+1-1+1-1+1-1+...$$

puede ser expresada como la siguiente:

$$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n$$

Dos válidas las sumas que hacen sentido para mí son $1$, e $0$, dependiendo de cómo se enfoque la serie. $(1+1)-(1+1)-(1+1)-...=0$, e $1+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=1$.

Hay consenso, sin embargo, que la suma real es de $\frac{1}{2}$. Por qué? Entiendo el planteamiento de encontrar parcial medio de la serie, y que de hecho tienden a $\frac{1}{2}$, pero parece poco intuitivo para afirmar que la suma no es ni $1$ o $0$.

Un más que convincente método que encontré fue asumiendo la serie es $S$, entonces el cambio es tal que $S-1 = S$, luego a través de álgebra hallazgo $S = \frac{1}{2}$, pero de nuevo, parece más intuitivo respuesta es $0$ o $1$. Digo esto estrictamente debido a la suma y resta de números enteros debe ser igual a un número entero, nunca una fracción.

Es esta una característica de la serie infinita, que no es específico de Grandi de la serie?

Answer 1

Considere la posibilidad de alimentación de la serie $$ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n, \qquad x\in [0;1). $$ Es la serie geométrica: $$ \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}. $$

Así, $$ S(x)=\frac{1}{1+x}, \qquad x\in[0,1). $$

$S(x)$ es continua y acotada en $[0;1)$. Así, podemos encontrar el límite de: $$ S = \lim_{x\to 1} S(x) = \frac{1}{2}. $$

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Ver Abel suma para una mejor comprensión.