¿manera generalizada de encontrar el valor mínimo de una función?

Question

$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ para todo número real para $x$ el valor mínimo de $f$ ¿Es qué?
Cómo puedo encontrar el valor mínimo de esta función.Sólo conozco el método de prueba y error, pero no es una forma generalizada.

Por favor, díganme una forma genérica de resolver este tipo de problema

Answer 1

Este caso es tan sencillo que se puede resolver sin necesidad de utilizar el cálculo. Escribe $f(x)$ como $$f(x)= 1- \frac{2}{x²+1} $$ El valor mínimo de esta función se produce claramente cuando la fracción de la derecha es mayor, lo que ocurre claramente cuando el valor del denominador es menor, lo que ocurre cuando $x=0$ Por lo tanto, el valor mínimo de la función es $f(0)=-1$ .

Answer 2

El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$

$f$ es diferenciable.

$$f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$$

$$f'(x)=0 \Rightarrow x=0$$

$$f'(x)<0,\forall x<0$$

$$f'(x)>0, \forall x>0$$

Por lo tanto, $f$ es decreciente en $(-\infty,0]$ y aumentando en $[0,+\infty)$

Así que, $f$ alcanza su mínimo en $0$ y el mínimo es igual a $f(0)=-1$

Answer 3

Al diferenciarlo se obtiene la respuesta :

$$f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}.$$ Desde $f(x)$ es decreciente para $x\lt 0$ y está aumentando para $x\gt 0$ , $f(0)=-1$ es el mínimo.

Answer 4

Para este particular $f(x)$ se puede utilizar la división polinómica para que $x^2-1=1\cdot(x^2+1)-2$ como sigue $$f(x)=\frac {x^2-1}{x^2+1}=\frac {x^2+1-2}{x^2+1}=1-\frac 2{x^2+1}$$

Desde $x^2+1\ge 1$ es entonces evidente que el valor mínimo se produce cuando $x=0$ .

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Añadido más tarde: Obsérvese que la división de polinomios y también el uso de fracciones parciales pueden ayudar mucho a resolver lo que ocurre con funciones racionales como ésta.

Answer 5

Otros han cubierto cómo resolver el problema si $f$ es diferenciable. ¿Pero qué pasa si no lo es?

Emplea un ordenador y encuentra un mínimo local utilizando el algoritmo de escalada . O utilizar una variante de la misma como "Random-restart hill climbing" para una aproximación al mínimo global.