¿Por qué "raro" y "Aun"?
El grupo simétrico $S_n$ mapas homomorphically en el grupo cíclico de orden dos $(\{0, 1\}, +_{\operatorname{mod}2})$. Por homomorphically, me refiero a que el mapa se conserva la estructura de grupo, en el sentido de que si se denota el mapa de $f:S_n\rightarrow \{0, 1\}$$f(\sigma\tau)=f(\sigma)+_{\operatorname{mod}2}f(\tau)$. Extraño permutaciones mapa a la no-trivial elemento $1$ en este mapa, mientras que las permutaciones mapa para el trivial elemento $0$. Esta es la razón detrás de llamarlos extraño y aun, porque tenemos las siguientes operaciones:
- $odd+odd=even$, e $1+_{\operatorname{mod}2}1=0$.
- $even+odd=odd$, e $0+_{\operatorname{mod}2}1=1$.
- $odd+even=odd$, e $1+_{\operatorname{mod}2}0=1$.
- $even+even=even$, e $0+_{\operatorname{mod}2}0=0$.
Por lo tanto, esta homomorphism es la imitación de la adición de números pares y los impares. El incluso permutaciones son el núcleo de este mapa (homomorphism), y esto significa que forman un subgrupo (o más bien, un subgrupo normal, por el primer teorema de isomorfismo), llama la alternancia de grupo $A_n$.
Aplicaciones
Para un fresco, pero, debo admitir, un poco avanzado de la aplicación de la paridad, buscar Teorema de 11.2.1 de David Joyner el libro de Aventuras en el Grupo de Teoría. El teorema se da condiciones necesarias y suficientes para un cierto tipo de 4-tupla para representar un elemento del grupo subyacente de el cubo de Rubik.
De hecho, yo recomendaría buscar Joyner del libro si quieres ejemplos de aplicaciones. El libro está basado alrededor de la aplicación de teoría de grupos a los rompecabezas, y la mayoría de estas aplicaciones de uso simétrica grupo de argumentos. Por ejemplo, la Sección 7.4 del libro demuestra (utilizando la paridad de las permutaciones) que el 15 de puzzle no tiene solución (esto es, por supuesto, fretty la respuesta). Me gusta especialmente la Sección 3.4, lo que explica una aplicación práctica de la permutación de grupos campanology.
