¿Cuál sería el equivalente de la "pegar axioma" para un cosheaf

Question

Una gavilla es un presheaf $F$ tal que para todos los $U$, y para todos los que cubren $\{U_i\}_{i\in I} $ de $U$, $F(U)$ es el ecualizador $$ F(U) \overset{f}{\longrightarrow}\prod_{i\in I} F(U_i) {\overset{g}{\longrightarrow}\atop \underset{h}{\longrightarrow} } \prod_{i,j\in I} F(U_i\cap U_j)$$

(cf. esta pregunta de una forma bastante explícita definición de $f,g,h$)

Esto puede ser reformulada como el encolado de los axiomas que tienen una interpretación más intuitiva

• dos secciones $s,t\in F(U)$ son idénticas si sus restricciones a $U_i$ coinciden, es decir, $$\forall\ i\in I\quad s|_{U_i} = t|_{U_i}\ \Longrightarrow \ s=t $$

• Dada una familia de secciones $s_i\in F(U_i)$ tal que (compatibilidad): $s_i|_{U_i\cap U_j} = s_j|_{U_i\cap U_j}$ existe una sección de $s\in F(U)$ tal que $s_i= s|_{U_i}$

Ahora bien, si uno toma como la definición de un cosheaf, un precosheaf $F$ tal que $F(U)$ es el coequalizer $$ \coprod_{i,j\in I} F(U_i\cap U_j) {\overset{k}{\longrightarrow}\atop \underset{l}{\longrightarrow} } \coprod_{i\in I} F(U_i) \overset{m}{\longrightarrow} F(U)$$ ¿cuál sería el encolado de los axiomas?

Primeros pasos: estoy seguro de que una primera condición es que todas las "secciones" (no estoy seguro acerca de esta interpretación para un precosheaf...) en $F(U)$ son la suma de las secciones en $F(u_i)$. Sin embargo, todavía estoy atascado en la otra condición

Answer 1

En general, un $C$valores de precosheaf $F$ es un cosheaf iff para cada objeto $T \in C$ la presheaf $\hom(F(-),T)$ es una gavilla. Esto debe darle una intuición para cosheafs. En lugar de hablar acerca de los elementos de $F(U)$, que en general son los morfismos en $F(U)$, mejor que piense de "coelements", que podría ser morfismos en $F(U)$.

Si desea considerar los elementos de todos modos: Un precosheaf $F$ de estructuras algebraicas es un cosheaf iff para cada abierto que cubre $U = \bigcup_i U_i$ tenemos que $F(U) = \coprod_i F(U_i) / \sim$ donde $\sim$ es el más pequeño de la congruencia de la relación de la satisfacción de $s^{U_i} \sim s^{U_j}$$s \in F(U_i \cap U_j)$. Aquí me denotar por $s^{U_i}$ la imagen de $s$$F(U_i)$, que se asigna entonces a $\coprod_i F(U_i)$.

Por lo tanto, si $F$ es valorado en conjuntos, esto significa que cada sección en $F(U)$ es inducida por una sección en la $F(U_i)$, y que las dos secciones $s \in F(U_i)$, $t \in F(U_j)$ representar a la misma sección en la $F(U)$ fib hay una secuencia de abrir subconjuntos $U_i=U_{i_1},\dotsc,U_{i_n}=U_j$ en la cobertura y secciones en las intersecciones $U_{i_k} \cap U_{i_{k+1}}$ que son compatibles y que inducen $s$ (resp. $t$ ) $k=1$ (resp. $k=n-1$).

Si $F$ es valorado en abelian grupos, cada sección en $F(U)$ tiene la forma $\sum_i s_i^{U}$ secciones $s_i \in F(U_i)$ (casi cero). Con el fin de decidir la igualdad, es suficiente para decidir cuándo $\sum_i s_i^{U}=0$. Esto sucede iff hay secciones $s_{ij} \in F(U_i \cap U_j)$ (casi cero) tal que $s_i = \sum_j s_{ij}^{U_i} - s_{ji}^{U_i}$.

Answer 2

La interpretación de la encolado de los axiomas de poleas está íntimamente relacionado con el ejemplo en el que $F(U)$ es un conjunto de funciones en $U$.

Con el fin de encontrar un análogo de la interpretación para cosheaves, uno puede asumir que un cosheaf es de este tipo (la afirmación de que compacta las funciones de rendimiento de un cosheaf en esta respuesta ) y examinar lo que significa:

• asumir que los mapas de $ F(U_i) \rightarrow F(U)$ en la definición de un precosheaf son extensiones de las "secciones", con el "apoyo" en $U_i$, denotan ellos por $ext_{U_i U}$ (precosheaf implica en particular: $$ ext_{U_i U}\circ ext_{U_i U_i\cap U_j} = ext_{U_j U}\circ ext_{U_j U_i\cap U_j}$$
• la flecha $m$ en el coequalizer diagrama se define por los $ext_{U_i U}$, si no hubiera coequalizer condición significaría que $F(U)$ es realmente el subproducto de la $ \{ F(U_i)\}$ (y esto para todos los que cubren $ \{ U_i\}$$U$.): -si uno considera que la $F(U)$ es sólo un conjunto, no es distinto de la unión de las secciones de la $F(U_i)$ si $F(U)$ es considerado como un espacio vectorial, entonces es la suma directa, si $F(U)$ es considerado como un unital álgebra conmutativa, entonces es el producto tensor
• el coequalizer condición dice que $m$ es la proyección en el cociente de los espacios detallados en Martin de la respuesta.

Uno puede ver que la separe de la unión de "secciones con apoyo" en $U_i$ (incluso quotiented por algunos de equivalencia de la relación) nunca va a dar todas las secciones en $F(U)$; del mismo modo que el tensor de producto no dará una función de una variable. La suma directa parece funcionar si $s \oplus t$ se identifica con la pointwise suma de dos funciones.

La mecánica de la adaptación de esta interpretación de la "pegar axiomas" es que $m$ induce un isomorphisms $\tilde{m}: \coprod_{i\in I} F(U_i)/\sim\ \longrightarrow F(U)$ (que $m=\tilde{m}\circ \pi_{\sim}$, proyección en el cociente). La interpretación que ahora no es de pegar, pero algo como "sumar" (subproducto, suma directa en el buen ejemplo) las secciones con apoyo en regiones más pequeñas hasta equivalencia da secciones de regiones más grandes. (en cualquier caso, poleas y cosheaves imponer relaciones en las secciones en $ \{ U_i\}$ y los de $U$, uno es el encolado, la otra es la "suma de equivalencia")

---

Alternativamente, uno puede encontrar un buen ejemplo prototípico: inspirado por el primer § de Martin respuesta vamos a demostrar que el functor $ U \rightarrow \mathcal{D}'(U)$ que se abra una nueva región de los asociados de las distribuciones con soporte dentro de ella, es una cosheaf:

• una distribución con apoyo en $U_i \subset U$ es, naturalmente, una distribución con apoyo en $U$, por lo que no es natural precosheaf estructura.
• $\mathcal{D}'(U)$ se obtiene por suma directa (cosheaf con valor en la categoría de espacios vectoriales) de la $\mathcal{D}'(U_i)$: multiplicar la distribución de funciones a partir de una partición de la unidad. El cociente uno debe tener es en realidad de manera "automática" que tuve hace algunos diffculty señalando hacia fuera: una distribución con apoyo en $U_i\cap U_j$ considera la primera como una distribución en $U_i$ $U$ es la misma como la misma distribución considerada primero como una distribución en $U_j$m, a continuación, en $U$. Esto no es automático en $\bigoplus_i \mathcal{D}'(U_i)$

---

Comentario: parece que un coequalizer siempre se obtiene como cociente de la subproducto w.r.t. alguna relación, cf. la wikipedia o a esta pregunta.