Estoy leyendo la definición de "metrizability", que establece que si existe una métrica $d$ establecer $X$ que induce a la topología de $X$, entonces es metrizable. Mi pregunta es ¿cómo podemos saber qué topología está siendo inducida por la métrica $d$ que se supone debe ser una función de distancia. ¿Cómo puede la función de distancia y de la colección de abrir conjuntos de estar relacionado?
Respuestas
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Como Nate señalado, la definición de la relación es que se tome la topología generada por el abierto de conjuntos, es decir, finito y cierres arbitrarios de los sindicatos sobre todos los conjuntos de la forma $\{x \in \mathbb{R}:\; |x| < \rho\}$. Pero no creo que eso es lo que estamos pidiendo, ya que parecen entender que una métrica es inducida en una topología, solo que no se por qué.
La intuición topológica toma algún tiempo para acostumbrarse. Usted puede ser el de la imagen como de la estructura que juega un "entre" la función. Pensar en el conjunto de $\mathbb{R}$ simplemente como un conjunto de elementos. Tiene una estructura pequeña. Ahora piensa en $\mathbb{R}$ como un espacio métrico. Ahora tiene una geometría, los caminos de la menor distancia entre dos puntos (geodesics -- en este caso, las líneas rectas), y un montón de estructura asociada a la noción de que $d(x,y) = |x-y|$. Pero en el medio se encuentra la estructura de los que no toma ningún aviso de distancia...
Esta estructura es la topología de su conjunto, $\mathbb{R}$. Usted sabe lo que abrir los conjuntos son, presumiblemente. [Si no, piensa en intervalos de $(a,b)$ o contables distintos sindicatos de ellos, esos son todos los bloques abiertos en $\mathbb{R}$, que no es un hecho trivial.] La topología de no entender la diferencia entre el$(-1,1)$$(-\infty,\infty)$, al menos no más allá de etiquetado diferentes. La razón es que no es un homeomorphism de $(-1,1)$ $(-\infty,\infty)$(sugerencia: también hay uno de $(-\pi/2,\pi/2)$ $(-\infty,\infty)$-- elegir un bonito función trigonométrica).
Un homeomorphism es una transformación que conserva la topología del espacio. Cuando usted piensa en la topología de un espacio, creo que de "hasta homeomorphism". Es continua y tiene un continuo inversa, y es bijective. Ejercicio: demostrar que una homeomorphism $f$ toma de conjuntos de bloques abiertos.
Entonces, ¿qué tiene todo esto que ver con la métrica? En primer lugar, abra conjuntos de dar una noción de "cercanía." Por ejemplo, puede definir la convergencia de una secuencia de puntos: decir $x_n$ converge a $x$ si para cualquier conjunto abierto $A$ contiene $x$ hay algo de $N$ tal que $x_n \in A$ todos los $n \geq N$.
La idea de que las cosas cada vez más pequeños y más pequeños (o abrir conjuntos de $d(x,y) < \delta$) refleja "grano fino" de la estructura. Topología, en primer lugar, le da una base "mapa" del espacio. La más fina que la topología, la mejor sabes dónde estás. Es como decirle a usted el continente yo vivo en frente informándole de la ciudad. 
Es importante tener en cuenta que especificar que el conjunto abierto está en que le dice acerca de donde usted está, y donde no se puede estar. Por ejemplo, si $A = (-\infty,0)$, $x \notin A$ significa que $x$ tiene que estar en la "derecha" de $0$, es decir,$x \geq 0$. Esa es una propiedad geométrica. Si yo te $x \notin (1,\infty)$, sabes más o menos donde $x$ es, más o menos cómo de lejos está de, digamos, $3/4$.
Una importante consecuencia de la anterior propiedad es la que le dice cómo abrir conjuntos están "pegadas". La definición de una topología le dice que abra los conjuntos que dar, decir, un no-vacío intersección (y los que no!). Así, por ejemplo, si yo tomo la línea real $\mathbb{R}$ y considerada $\pm\infty$ a ser un "abra" (dos elementos en un conjunto abierto! eso es posible! pero perder una propiedad), entonces yo sería efectivamente se pueden pegar los dos extremos de la línea real (creo que de una cuerda) juntos, formando un círculo (en realidad, yo podría estar recibiendo algo técnico mal aquí, el tipo de muerte cerebral, no me fijé en esto).
La relación con la métrica es por lo tanto importante, porque usted sabe acerca de estar "cerca" de otros puntos, pero no puede realmente cuantificar cómo de cerca lo que realmente es. Esa es la geometría.
Un excelente ejercicio es demostrar que $f$ es continua (en el $\varepsilon-\delta$ sentido) si y sólo si $f^{-1}(U)$ está abierto para cualquier conjunto abierto $U$. Una vez más, la continuidad es una propiedad de cercanía y debe estar relacionada con la topología (al igual que las secuencias de convergencia). Es realmente asombroso que tan bien la definición de la topología y de un conjunto abierto.
edit: ¿cómo puedo imágenes en escala?
DiGi
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Supongamos que $\langle X,d\rangle$ es un espacio métrico. Vamos
$$\mathscr{B}=\{B(x,r):x\in X\text{ and }r>0\}\;,$$
donde $B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$ es la bola abierta de radio $r$ centrada en $x$. No es difícil comprobar que $\mathscr{B}$ es una base para una topología $\tau$$X$. Por definición de la topología de la $\tau$ generado por la base de la $\mathscr{B}$ es
$$\tau=\left\{\bigcup\mathscr{U}:\mathscr{U}\subseteq\mathscr{B}\right\}\;,$$
la familia de conjuntos que son los sindicatos de los miembros de $\mathscr{B}$. En este caso, significa que $\tau$ contiene los conjuntos que son arbitrarias sindicatos de abrir $d$-bolas. Estos son los bloques abiertos del espacio topológico $\langle X,\tau\rangle$, e $\tau$ es la topología en $X$ inducido por la métrica $d$.
Arthur
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Deje $d$ ser una métrica. Entonces la topología inducida por $d$ es la topología en la que el abrir los conjuntos son precisamente los conjuntos de $U$ con la propiedad de que para cada $u \in U$ existe un $\epsilon > 0$ tal que $B_\epsilon(u) \subset U$ donde $B_\epsilon(u)$ denota la bola abierta con el radio de $\epsilon$ y el centro de la $u$.
Kyle Rogers
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¿Qué libro estás leyendo? Debe haber sido por descuido, por escrito, si la definición de "espacio metrizable" no está precedida por una definición de la "topología inducida por la métrica". Aquí es la falta de definición: Un conjunto $U$ es abierto en la topología inducida por la métrica $d$ si y sólo si, para cada punto de $a$$U$, no es un número real $\varepsilon\gt0$ tal que $\{x:d(x,a)\lt\varepsilon\}\subseteq U$. (En otras palabras, de la misma manera de definir abierto pone en $\mathbb R^n$ con el ordinario de la métrica Euclidiana.) La topología inducida por $d$ es sólo la colección de todos los conjuntos, como se definió anteriormente.
