Serie de Taylor $\ln(\tan(x))-\ln(x)$ punto $0$

Question

Bien.

Quiero encontrar la serie de Taylor para la función:

$$f(x) = \ln(\tan(x))-\ln(x),$$

el fin de $5$ punto $c=0$. Maple resultado es: $$\ln(\tan(x))-\ln(x) = \frac 13x^2+\frac 7{90}x^4+O(x^6).$$

Y mi pregunta es: ¿Cómo?

Yo realmente no veo cómo puedo encontrar la serie de Taylor al $\ln(\tan(0))-\ln(0)$ (que es el primer término de la serie de Taylor) es indefinido?

Answer 1

En primer lugar, como ya se ha señalado por muchos, hemos

$$\ln(\tan x)-\ln x=\ln\left(\frac{\tan x}x\right) = \ln\left(\frac{\sin x}x \frac{1}{\cos x}\right)$$

Así que cuando $x \to 0$, el plazo dentro del logaritmo irá a $1$, así que no hay problemas allí. De esta forma se puede ya a la conclusión de que no habrá término constante en la serie de Taylor, como $\ln(1 \pm \epsilon) \to 0$$\epsilon \to 0$.

A continuación, podemos utilizar la serie de Taylor para $\tan(x)$ para obtener

$$\frac{\tan x}{x}=1+\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{15}x^4+\frac{17}{315}x^6+\frac{62}{2835}x^8+\ldots$$

Utilizando la serie de Taylor para $\ln(1+x)$ nos da

$$\ln\left(\frac{\tan x}x\right) = \ln\left(1+\left(\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{15}x^4+\frac{17}{315}x^6+\frac{62}{2835}x^8+\ldots\right)\right)$$ $$ = y - \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{3} y^3 - \frac{1}{4}y^4 + \ldots$$

donde

$$y = \frac{1}{3}x^2+\frac{2}{15}x^4+\frac{17}{315}x^6+\frac{62}{2835}x^8+\ldots$$

El resto es trabajo duro. Usted puede calcular el orden inferior términos para cada uno de los poderes de $y$ primera.

$$\begin{array}{rcl} y &=& \frac{1}{3}x^2+\frac{2}{15}x^4+\frac{17}{315}x^6+\frac{62}{2835}x^8+\ldots \\ \frac{1}{2}y^2 &=& \frac{1}{18}x^4+\frac{2}{45}x^6+\left(\frac{17}{945}+\frac{2}{225}\right)x^8+\ldots \\ \frac{1}{3}y^3 &=& \frac{1}{81}x^6+\frac{2}{135}x^8+\ldots \\ \frac{1}{4}y^4 &=& \frac{1}{324}x^8+\ldots \end{array}$$

Sumándolo todo, obtenemos

$$\ln(\tan x)-\ln x = y - \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{3} y^3 - \frac{1}{4}y^4 + \ldots$$ $$= \frac{1}{3}x^2 + \left(\frac{2}{15} - \frac{1}{18}\right)x^4 + \left(\frac{17}{315}-\frac{2}{45}+\frac{1}{81}\right)x^6 + \left(\frac{62}{2835} - \frac{17}{945} - \frac{2}{225} + \frac{2}{135} - \frac{1}{324}\right)x^8 + \ldots$$ $$= \frac{1}{3}x^2 + \frac{7}{90}x^4 + \frac{62}{2835}x^6 + \frac{127}{18900}x^8 + \ldots$$

Answer 2

Sugerencia: Como Srivatsan dijo, usted debe escribir primero $$ \ln(\tan x)-\ln x=\ln\left(\frac{\tan x}x\right). $$ Como siguiente paso, usted debe encontrar un número suficiente de términos de la serie de Maclaurin de $\tan x$, y se divide por $x$: $$ \frac{\tan x}{x}=1+\frac{x^2}3+\frac{2x^4}{15}+\cdots $$ Escribo esto como $1+u$. Entonces, como último paso el uso de la serie $$ \ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}3-\cdots $$

Answer 3

Su función es $\ln(\sin(x)) - \ln(\cos(x)) - \ln(x)$, cuya derivada es $\cot(x) + \tan(x) - {1 \over x}$. El poder de la serie de estas funciones son bien conocidos y puede verse fácilmente. Para ponerlos juntos, integrar término a término y obtendrá la serie de Taylor para $\ln(\tan(x)) - \ln(x)$. Wolfram alpha da $${x^2 \over 3} + {7x^4 \over 90} + {62x^6 \over 2835} + {127 x^8 \over 18900} + {146 x^{10} \over 66825} + ...$$