Hace un débil homotopy equivalencia inducir una equivalencia de categorías fundamentales groupoids?

Question

Deje $f\colon X\rightarrow Y$ ser un débil homotopy de equivalencia. ($\pi_0(f)$ es un bijection y $\pi_n(f,x)$ es un isomorfismo para todos los basepoints $x\in X$ y todos los $n$.) Se induce un functor $\Pi(f)\colon\Pi(X)\rightarrow \Pi(Y)$ en la fundamental groupoids.

Es $\Pi(f)$ una equivalencia de categorías?

Answer 1

Lema 1: Si los morfismos de groupoids $g:G\to H$ induce un isomorfismo $G(x_0) \to H(g(x_0))$ para cualquier objeto $x_0$, $g$ es totalmente fiel restringido a cada componente de $G$.
Prueba. Deje $x_0,x_1$ ser objetos en el mismo componente de $G$, de modo que existe un camino de $\kappa:x_0\rightsquigarrow x_1$. Entonces tenemos un bijection $r_\kappa: G(x_0) \to G(x_0,x_1)$ enviar el bucle de $\lambda$ a el camino de $\lambda\kappa$. Asimismo, hay un bijection $r_{g(\kappa)}: H(g(x_0)) \to H(g(x_0),g(x_1))$, y la igualdad de $r_{g(\kappa)}g|_{G(x_0)} = g|_{G(x_0,x_1)}r_\kappa$ mantiene. Desde $g|_{G(x_0)}$ es un bijection, por lo que es $g|_{G(x_0,x_1)}$.

El siguiente lema es inmediata a partir del hecho de que los componentes de la ruta de un espacio corresponden a los componentes de su fundamental groupoid.
Lema 2: Si el mapa de los espacios de $f:X\to Y$ induce un bijection en $\pi_0$, entonces la inducida por morfismos $\pi(f):\pi(X)\to\pi(Y)$ induce un bijection de los componentes de la groupoids.

Corolario 1: Si $f:X\to Y$ es un débil homotopy equivalencia, a continuación, $\pi(f)$ da un bijection entre los componentes de $\pi(X)$ y los de $\pi(Y)$ y es totalmente fiel en cada componente.

Lema 3: Una de morfismos $g:G\to H$ de groupoids con las propiedades que se declaró en el corolario 1 es una equivalencia de groupoids:
Prueba. Ya que para cualquier objeto $y$$H$, no es un objeto $x$ $G$ asignado al componente de $y$, $g$ es esencialmente surjective. También si $x_0$ $x_1$ mentira en los distintos componentes de $G$, los componentes de $g(x_0)$ $g(x_1)$ son distintos. Y si $x_0$ $x_1$ están en la misma componente, entonces tenemos un bijection de su flecha conjunto de sus imágenes. Eso significa que $g$ es esencialmente surjective y totalmente fieles.

Corolario 2: Una débil homotopy equivalencia induce una equivalencia de fundamental groupoids.