Sabemos que las secuencias de Fibonacci son periódicas en el mod $m$. Por ejemplo, para $p\equiv \pm 1 \pmod 5$ $\pm 2 \pmod 5$ los periodos de secuencias de Fibonacci modulo $p$ brecha $p-1$ $2p+2$ respectivamente. Quiero encontrar el número de ceros en las secuencias de Fibonacci modulo $p$ que tienen plazo máximo para estos casos especiales. Por ejemplo, si tomamos $p=11$, el período es $10$ y la secuencia es $\{0,1,1,2,3,5,8,2,10,1\}$ y sólo hay un cero. Para $p=19$ el periodo de es $18$ y la secuencia es $\{0,1,1,2,3,5,8,13,2,15,17,13,11,5,16,2,18,1\}$ y sólo hay un cero. Pero, para$p=41$ el periodo de es $40$ y la secuencia es $\{0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,14,7,21,28,8,36,3,39,1,40,0,40,40,39,38,36,33,28,20,7,27,34,20,13,33,5,38,2,40,1\}$ hay dos ceros. Mi pregunta es que: "Podemos dar un imlicit fórmula, que contar el número de ceros en la secuencia dada máxima períodos?"
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Nuevo edit:me olvidé de la $\text{ord}_n(F_{k+1}) $ parte le dice cuántas 0 hay antes del final del período. Por lo tanto aquí está la nueva, editado respuesta:
Encontrar $k$ donde $k$ es el menor entero positivo tal que $n\mid F_k$ ($n$ siendo el índice de el mayor Número Fibonacci ($F_n$). Ahora, la cantidad de 0 es $\lfloor {p \over k} \rfloor + 1$ donde $\lfloor x \rfloor$ es el piso de redondeo de la función. Si inicia la secuencia de $F_0$ lo contrario si es$F_1$, que acaba de ser $\lfloor {n \over k} \rfloor$ obviamente.
Sin embargo, esto no nos dice mucho ¿no es así? Simplemente dice que la distancia entre el $0$'s $F_n \mod p$ es siempre la misma.
Puede haber algunos casos especiales, pero uno de los casos más interesantes es al $p = F_k$. Esto significa que cuando usted está modding a un número Fibonacci, la cantidad de $0$'s en la OTRA secuencia de Fibonacci es sólo $\lfloor {n \over k} \rfloor$. (Tenga en cuenta que $k$ tiene un contexto diferente, en esta configuración.)
Así, no hay ninguna manera fácil de calcular sin encontrar esa inicial $0$, sin embargo sabemos que desde $\pi (p) < p^2$ El máximo "intenta" encontrar va a ser $p^2$.
Por último, en todo el contexto de mi respuesta, $p$ no necesariamente primo.
