Encontrar la masa de la unidad de la esfera

Question

Me gustaría encontrar la masa de la unidad de la esfera de manera que la densidad en cualquier punto es proporcional a la distancia desde la superficie de la esfera. Creo coordenadas esféricas probablemente sería la mejor forma de lograr esto.

Sé que $$ mass = \iiint_D\rho(x,y,z) dV $$, pero no entiendo cómo traducir "proporcional a la distancia desde la superficie de la esfera" simbólicamente. Sé que los límites de la integral será fácil escribir en coordenadas esféricas. Necesito ayuda para entender cómo encontrar la función de densidad. Estoy buscando ayuda para configurar el integrando. Me puede resolver la integral a mí mismo. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

La buena gente en los comentarios que me han dicho que la distancia desde cualquier punto de la superficie de la unidad de la esfera está dado por: $(1-r)$ donde $r^2=x^2+y^2+z^2$. Ya que la densidad se dice que es proporcional a la distancia desde cualquier punto de la superficie de la unidad de la esfera, la densidad debe difieren por una constante y es dado por: $\rho=k(1-r)$ donde $k$ es una constante. La conversión de $mass=\iiint_D\rho(x,y,z) dV$ en coordenadas esféricas por cambio de variable tenemos:$$mass=\iiint_R\rho r^2\sin\phi dr d\phi d\theta$$ $$=k\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1(1-r)r^2\sin\phi dr d\phi d\theta$$ $$=\frac{k}{12}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin\phi d\phi d\theta$$ $$=\frac{k}{6}\int_0^{2\pi} d\theta$$ $$=\frac{k\pi}{3}$$

Answer 2

El área de la superficie de una esfera es $4\pi r^2$, por lo que la masa es

$$\int_0^1\rho(1-r)4\pi r^2\,dr.$$

Answer 3

Poner $$x=r\cos(t)\sin (f) $$ $$y=r\sin(t)\sin(f) $$ $$z=r\cos(f) $$

si $\rho(x,y,z)=k (1-r ) $, luego

$$mass=$$ $$k\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_0^\pi(1-r)r^2\sin(f)drdtdf$$

$$=k\int_0^{2\pi}dt\int_0^\pi\sin(f)df\int_0^1 (r^2-r^3)dr $$

$$=4k\pi (\frac 1 3-\frac 1 4) $$