¿Puede un número tener diferentes factorizaciones primos?

Question

Dado un número $n$ , puede $n$ se descomponen en diferentes factores primos? Por ejemplo:

$c\times d = n$ , donde $c$ y $d$ son ambos factores primos.

¿Podría haber también una $e\times f = n$ donde $e$ y $f$ también son primos y no son iguales a $c$ / $d$ ?

Answer 1

No:

Primero necesitamos un lema: si $p$ es primo y $p$ divide $ab$ entonces $p$ divide $a$ o $p$ divide $b$ .

Prueba: Supongamos que $a$ y $n$ son relativamente primos y que $n$ divide $ab$ . Por la identidad de Bezout, existe $r$ y $s$ tal que $ra + sn = 1$ que al multiplicar por $b$ rinde $rab + snb = b$ . $n$ divide $ab$ (por hipótesis) que a su vez divide el primer término de la izquierda. Además, $n$ divide el segundo término de la izquierda. Por lo tanto, $n$ divide $b$ . Para demostrar el lema, tomemos $p = n$ y observe que, o bien $p$ divide $a$ (en cuyo caso hemos terminado) o $p$ es coprima de $a$ (ya que es primo) y por lo tanto por la discusión anterior $p$ divide $b$ .

Ahora, para responder a su pregunta:

Supongamos por contradicción que $n = p_1...p_n = q_1...q_n$ con el $p_i$ y $q_i$ aquí no son necesariamente distintos y, además, suponemos sin pérdida de generalidad que $p_1<p_2<...<p_n$ , $q_1<q_2<...<q_n$ y que $p_1<q_1$ . $p_1$ divide claramente $n$ . Así, por nuestro lema anterior, $p_1$ divide $q_i$ para algunos $i$ . Pero $p_1<q_i$ son ambos primos (por lo tanto son coprimos) por lo que $p_1 = 1$ una contradicción.

Answer 2

Como otros han señalado, esto es imposible en los números enteros. Puede que no sea obvio que se trate de una propiedad especial de los números enteros. Hay estructuras con nociones similares de primos y de factorización donde las factorizaciones de primos son pas único.

Para un ejemplo sencillo, consideremos el conjunto $\{1, 4, 7, 10, 13, 16, \ldots\}$ . Si pensamos en la multiplicación sólo en este conjunto, el 4 es primo, porque hemos dejado fuera el 2. El número 28 es un factor único en $4 \times 7$ . Pero 100 tiene dos factorizaciones diferentes: $$100 = 4 \times 25 = 10 \times 10$$ y ninguno de los factores 4, 10 o 25 más en este sistema.

Para un mejor ejemplo, considere el conjunto de números de la forma $$a + b \sqrt{-5}$$ donde $a$ y $b$ son números enteros. Este conjunto admite tanto la suma como la multiplicación. En este sistema, el número 6 tiene dos factorizaciones diferentes en elementos primos:

$$6 = 2 \times 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})$$

Esto es el ejemplo estándar que se encuentra en casi cualquier libro de texto de teoría algebraica básica de números. Ocasionalmente se puede encontrar el ejemplo de $2 \times 5 = (\sqrt{10})^2$ pero eso presenta al menos una dificultad pedagógica más que el $1 \pm \sqrt{-5}$ ejemplo.

Grandes matemáticos como Leonhard Euler no eran conscientes de que este tipo de cosas eran posibles, y esto desbarató uno de los primeros intentos de demostrar la conjetura de Fermat.

Y así los matemáticos desarrollaron el concepto de ideales. En el dominio que acabamos de mencionar, vemos que aunque el número 6 tiene dos factorizaciones distintas, la ideal generado por 6 tiene una factorización única en ideales primos:

$$\langle 6 \rangle = \langle 2, 1 + \sqrt{-5} \rangle^2 \langle 3, 1 - \sqrt{-5} \rangle \langle 3, 1 + \sqrt{-5} \rangle.$$

Dudo que hayas estudiado ya los ideales, pero algo me dice que lo habrías hecho pronto a pesar de todo.

Answer 3

Creo que estás preparado para empezar a aprender la diferencia entre números primos y números irreducibles. Lo que voy a decir en esta respuesta le parecerá muy básico a mucha otra gente aquí, pero hace un par de años no entendía del todo estas cosas. No es que ahora lo entienda del todo, pero lo entiendo mucho mejor que antes.

Voy a suponer que usted entiende que $-1$ y $1$ son unidades, no primos, y ciertamente no compuestos. Son las unidades de "los enteros", que consisten en los enteros positivos $1, 2, 3, \ldots$ ; $0$ y los enteros negativos $-1, -2, -3, \ldots$ Para abreviar, escribimos $\mathbb{Z}$ .

Entonces, dado un número $p \in \mathbb{Z}$ que no sea $-1, 0, 1$ y algunos números $a, b$ también en $\mathbb{Z}$ decimos que

• $p$ est irreducible si para cualquier elección de $a, b$ tal que $p = ab$ , ya sea $a$ o $b$ es una unidad, pero no ambas. Por ejemplo, $p = -7$ es irreducible, ya que en $1 \times -7 = -1 \times 7 = -7$ ambos $1$ y $-1$ son unidades, y no hay otra opción de $a, b$ tal que $ab = -7$ .
• $p$ est prime si siempre que $p \mid ab$ entonces también uno o ambos $p \mid a$ , $p \mid b$ es cierto. Por ejemplo, $-7$ es primo, y vemos que, por ejemplo, $-7 \mid 28$ , $28 = 2^2 \times 7$ y $-7 \mid 7$ .

Para reforzar este punto, considere $-14$ que no es ni irreducible ni primo. Es bastante fácil ver que es irreducible: $-14 = -2 \times 7 = 2 \times -7$ y ninguna de esas expresiones tiene unidades. Y vemos que no es primo, pues $-14 \mid 28$ , $28 = 2^2 \times 7$ pero $-14 \nmid 2^2$ , $-14 \nmid 7$ o bien.

Es muy importante tener en cuenta que en $\mathbb{Z}$ Los números primos e irreducibles son lo mismo, por lo que un número que tenga dos factorizaciones distintas en primos es, por definición, imposible. $-2 \times 7$ no cuenta como una factorización distinta de $-14$ aparte de $2 \times -7$ porque todo lo que hemos hecho es multiplicar ambos factores por la unidad $-1$ .

No iba a mencionar $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ ya que eso podría ser adelantarse bastante en su libro. Pero ya que MJD lo mencionó, también podría comentar que algunos números en ese dominio tienen factorizaciones distintas en irreducibles. Pero algunos irreducibles en ese dominio también son primos.

Y además, los ideales generados por números con factorizaciones distintas tienen factorizaciones únicas en ideales. Pero eso es adelantarse en su libro.

Llegados a este punto, puede que te resulte mucho más fácil entender los dominios que tienen números primos pero no irreducibles. Por ejemplo, el dominio finito $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ , que a veces se anota $\mathbb{Z}_{10}$ .

En $\mathbb{Z}_{10}$ La suma y la multiplicación se ajustan para que los resultados permanezcan en el dominio, por ejemplo, $4 + 7 = 1$ . Si recuerdas las tablas de multiplicar que aprendiste de niño, verás que en este dominio, $5$ es primo, y también "compuesto:" $5 = 3 \times 5 = 5^2 = 7 \times 5 = 9 \times 5$ .

Answer 4

Depende, en primer lugar, de cómo se defina "primo". Y también depende del dominio del que se hable; casi todo el mundo parece haber asumido, con razón o sin ella, que se trata de los números enteros $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$

Todos los números enteros son trivialmente divisibles por 1 y $-1$ Así que no nos preocupamos por eso. Y en cualquier caso, ya no consideramos que 1 sea un número primo, pero eso es otra lata de gusanos. Además, un número entero es trivialmente divisible por sí mismo y por sí mismo multiplicado por $-1$ .

La definición popular de los primos es que un primo no es divisible por ningún número del dominio que sea menor en algún sentido, aparte de los divisores triviales que ya he mencionado. Para los enteros, el sentido habitual de comparación (a efectos de factorización) es la función de valor absoluto.

Esta definición es lo que algunos llaman "irreducible" en lugar de "primo". Utilizan una definición más fuerte para los primos, que requiere para que un número se llame primo que siempre divida al menos uno de los factores no triviales de cualquier otro número que divida. En símbolos, tenemos que si $p \mid ab$ Entonces, o bien $p \mid a$ o $p \mid b$ .

Así que si usas esta última definición más fuerte de los primos, entonces $c \times d = e \times f = n$ de tal manera que ni $e = c/d$ ni $f = c/d$ es imposible por definición independientemente del dominio del que se trate.

Pero si se trata de los números enteros, la distinción entre primos e irreducibles es irrelevante, porque todos los primos son irreducibles y todos los irreducibles son primos. Decimos que los enteros forman un único dominio de factorización. Este hecho se denomina teorema fundamental de la aritmética. Véase https://proofwiki.org/wiki/Fundamental_Theorem_of_Arithmetic para una prueba.

Algunas de las otras respuestas mencionan dominios en los que son posibles múltiples factorizaciones distintas en irreducibles, ya que no todos los irreducibles son primos en esos dominios. Así que si usas primo para referirte a irreducible, entonces sí, lo que pides es posible en muchos dominios, pero no en los enteros.