homología isomorfo a cohomology

Question

es cierto que, al calcular las homologías y cohomologies con coeficientes en un campo de homología y cohomology grupos son isomorfos entre ellas?

Que es válida cuando la homología de grupos son gratis con coeficientes enteros.

Thx

Answer 1

El universal coeficiente teorema no es necesario en todos los casos. Si $k$ es un campo, entonces el functor $\text{Hom}(.,k)$ es exacta. Esto le da una canónica de isomorfismo entre cohomology y el espacio vectorial dual de homología.

Answer 2

Dado un espacio de $X$ y un grupo abelian $A$, el Universal Coeficiente Teorema de cohomology dice que hay un pequeño natural de la secuencia exacta $0\to \text{Ext}(H_{i-1}(X;\mathbb{Z}),A) \to H^i(X;A) \to \text{Hom}(H_i(X;\mathbb{Z}),A)\to 0$ e esta secuencia se divide (pero no de forma natural).

Si $A$ es un campo, entonces $\text{Ext}(H_{i-1}(X;\mathbb{Z}),A)=0$$H^i(X;A)\cong \text{Hom}(H_i(X;A),A)$.