Dado un valor no negativo martingala proceso de $(X_t)$ con su filtración natural, ¿qué puede decirse acerca de
$$\mathbb{E}(X_t X_{t+1} X_{t+2} X_{t+3} | \mathcal{F}_{t-1})$$
específicamente podemos decir
$$\mathbb{E}(X_t X_{t+1} X_{t+2} X_{t+3} | \mathcal{F}_{t-1}) > (X_{t-1})^4$$
es decir, se comporta como un submartingale, sin hacer más suposiciones acerca de covarianzas
Respuestas
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La respuesta es SÍ si uno reemplaza $\gt$ $\geqslant$ y si se supone que $(X_t)$ ha finito cuarta momentos. Esto se basa en tres simples propiedades de la esperanza condicional, a saber:
(C) La Convexidad. (T) de la Torre de la propiedad. (M) Tomar lo que es medible.
(C) significa que si $\varphi$ es convexo y si $Z$ $\varphi(Z)$ son integrables, entonces $$ E(\varphi(Z)|G)\geqslant \varphi(E(Z|G)). $$ (T) significa que si $H\subseteq G$ e si $Z$ es integrable, entonces $$ E(Z|H)=E(E(Z|G)|H). $$ (M) significa que si $U$ $G$ medibles y si $UZ$ $Z$ son integrables, entonces $$ E(UZ|G)=UE(Z|G). $$
Ahora debemos estimar $Y=E(Y_1|F_0)$$Y_1=X_1X_2X_3X_4$.
Primer paso
(i) Por (T) para $Z=Y_1$, $G=F_3$ y $H=F_0$, $Y=E(E(Y_1|F_3)|F_0)$.
(ii) Por (M), desde $U=X_1X_2X_3$ $F_3$ medibles, $E(Y_1|F_3)=X_1X_2X_3E(X_4|F_3)$.
(iii) Desde $E(X_4|F_3)=X_3$, $Y=E(Y_2|F_0)$ con $Y_2=X_1X_2X_3^2$.
Segundo paso
(i) Por (T) para $Z=Y_2$, $G=F_2$ y $H=F_0$, $Y=E(E(Y_2|F_2)|F_0)$.
(ii) Por (M), desde $U=X_1X_2$ $F_2$ medibles, $E(Y_2|F_2)=X_1X_2E(X_3^2|F_2)$.
(iii) Por (C) para $\varphi:z\mapsto z^2$, $E(X_3^2|F_2)\geqslant X_2^2$.
(iv) Porque cada $X_i$ es no negativa, $E(Y_2|F_2)\geqslant Y_3$ por lo tanto $Y\geqslant E(Y_3|F_0)$,$Y_3=X_1X_2^3$.
Tercer paso
Aplicar (T) de nuevo, esta vez a $Z=Y_3$, $G=F_1$ y $H=F_0$, entonces (C) de nuevo, esta vez con $\varphi:z\mapsto z^3$ (que es convexa en a$z\geqslant0$, y sólo allí), entonces (M) una vez más con $U=X_1$, y una vez más el nonnegativity de todos los $X_i$, y listo.
Asimismo, para cada $n\geqslant1$ si $(X_t)$ es integrable suficiente, $$ E(X_{t+1}X_{t+2}\cdots X_{t+n}|F_t)\geqslant E((X_{t+1})^n|F_t)\geqslant (X_t)^n. $$ La idea de sintetizarlo propiedades (C), (T) y (M) es una adaptación de la Probabilidad con Martingales por David Williams (véase la Sección 9.7 Propiedades de la esperanza condicional: una lista).
palehorse
Puntos
8268
No sé mucho acerca de martingales, pero yo diría que sí. Llamar a $a,b,c,d$ su $X_t ... X_{t+3}$ condicionada a que el pasado $F_{t-1}$, y la aplicación de la fórmula $E(a b) = E(a E(b|a))$ tenemos que la LHS es
$E(a \; E(b \; E(c \; E( d | a b c ))))$ (las variables en cada plazo se supone para ser condicionado en el pasado los valores).
La más interior término es $E( d | a b c ) = c$
El próximo resultante plazo es $E( c^2 | a b ) $ . Como sabemos que $E(c | ab) = b$, este debe ser mayor (o igual) que el $b^2$
Por el mismo razonamiento, el siguiente término debe ser mayor que $a^3$, etc.
Actualización: Didier la respuesta llegó mientras yo estaba terminando esto; dice el mismo, básicamente - y mejor.
