Hacer dos similares booleano matrices tienen el mismo número de no-cero entradas?

Question

Me preguntaba: ¿es necesariamente el caso de que si $A$ $(0, 1)$ matriz, y $SAS^{-1}=B$ donde $B$ $(0,1)$ matriz, entonces do $A$ $B$ tienen el mismo número de $1$s?

Tengo la corazonada de que esto no puede ser verdad. Sin embargo, vamos a considerar este caso especial, la cual surge en la teoría de grafos (coherente configuraciones): supongamos $\{A_1, A_2,..., A_r\}$ es un conjunto de $(0,1)$ matrices tales que el$\sum_iA_i=J$, $J$ todos los $1$s de la matriz, y de algún subconjunto de lo sumas a la matriz de identidad. Deje $\{B_1, B_2,...,B_r\}$ ser otro conjunto que satisfagan las mismas condiciones. Si $SA_iS^{-1}=B_i$, $A_i$ $B_i$ tienen el mismo número de $1$s all $i$?

Gracias!

Answer 1

Para un contraejemplo a la primera pregunta, tome $A$ a cualquier triangular superior de la matriz con más de $n-1$ fuera de la diagonal, y $B$ su forma normal de Jordan. Estos tienen el mismo número de unos en la diagonal, pero un número diferente de fuera de la diagonal.

La segunda afirmación es verdadera. Si $SJS^{-1}=J$ $SAS^{-1}=B$ $bJ=JBJ=SJAJS^{-1}=aJ$ donde $a$ $b$ son los totales de las entradas de $A$ $B$ respectivamente.