Es el producto escalar de la única invariante a la rotación de la función?

Question

Estoy buscando la rotación de la invariante de las funciones escalares $f(x,y): x,y \in R^3$ que no alguna función escalar sobre el producto escalar (o norma), es decir, $ f \neq g(x\cdot y, \Vert x \Vert, \Vert y \Vert ) $

¿Existen ?

Editar: Editado para aclarar que la norma es sólo otra forma de que el producto escalar y la norma de ser invariante a la rotación de la realidad es sólo el producto escalar de ser invariante.

Answer 1

$$\vert x\times y\vert$$ es invariante bajo rotaciones porque vector de módulo.

Se utiliza el producto escalar, pero no es una función escalar el producto escalar de sus argumentos.

$$f(x,y)=\vert x\times y\vert=\sqrt{(x·x)(y·y)-(x·y)^2}\ne g(x·y)$$