Anómala del Barrio de las Identidades y las anomalías en las dimensiones

Question

Vamos a considerar una acción $S[\phi,\partial\phi]$, que es el de la clásica invariante bajo una transformación de grupo $G$. El asociado de Noether actual $\mathcal{J}^\mu$ clásicamente se conserva, es decir, $\partial_\mu \mathcal{J}^\mu=0$ mantiene como un operatorial identidad.

La generación funcional de esta teoría es

$$Z[J] = \int [d\phi] \,e^{+ i \int d^dx \,J(x)\phi(x)}$$

donde hemos añadido una fuente externa para $\phi(x)$.

Si la teoría es la anomalía libre, podemos derivar la sala de Identidad para $\mathcal{J}^\mu$, que es

$$\partial_\mu \langle \mathcal{J}^\mu(x)\rangle_J = J(x) \langle \delta \phi(x)\rangle_J\,,\qquad \qquad (1)$$

donde $\langle ... \rangle_J$ significa que las correlaciones deben ser calculadas con $J\neq 0$ $\delta \phi$ es la variación del campo $\phi$ bajo $G$.

Mediante la diferenciación de Eq. (1) wrt $J(x_i)$ y, a continuación, configuración de $J=0$, tenemos la costumbre de Barrio identidades.

Generalmente Eq. (1) es el punto de partida para el estado que conserva las corrientes no adquieren la dimensión anómala. De hecho, el Barrio, la identidad puede ser escrito aproximadamente como

$$\partial_\mu \langle \mathcal{J}^\mu(x)X(y)\rangle_{J=0} \propto \delta^d(x-y)\langle\delta X(y)\rangle$$ para algunos de los productos locales de los campos de $X(y)$. Cuando la HR se normaliza, lo mismo es cierto para el lado izquierdo. Entonces, no renormalization de $\mathcal{J}^\mu$ es necesario. Esto implica la dimensión de la $\mathcal{J}^\mu$ es fijo.

Primera pregunta , ¿Cómo Eq.(1) en cambio si la teoría es anómala? Por ejemplo, poner un invariantes conformes teoría en una curva de fondo. Tenemos un seguimiento anomalía para el seguimiento de la tensión tensor de inercia de energía, es decir,$\langle T^\mu_\mu\rangle \neq 0$. Considerar como clásicamente se conserva actual de la dilatación de la actual $D^\mu = x_\rho T^{\rho\mu}$. Más precisamente, Si sé que el contenido de la materia de la teoría, puedo ver cómo la ruta integral de medición de los cambios y, a continuación, que pueda derivar la anómala del Barrio de identidad. ¿Y si en lugar de eso yo no se especifica el contenido de la materia, pero sólo la traza anomalía?

Segunda pregunta de Si la teoría es anómala, es cierto que clásicamente se conserva corrientes no adquieren la dimensión anómala?

Answer 1

Primero de todo, por favor, eche un vistazo a esta otra respuesta de la mina, donde considero que el caso especial de la axial anomalía. Mi análisis no puede ser fácilmente generalizables a una arbitraria simetría transformación. Voy a esbozar los principales ingredientes de aquí.

Deje que la integral funcional se $$\begin{equation}\tag1 Z[j]\equiv\int \mathrm e^{iS[\phi]+\sum_i\phi^i j_i}\ \mathrm d\phi \end{equation}$$ donde $i=(x,\alpha)\in\mathbb R^d\times A$ es un DeWitt índice, con $A$ un discreto conjunto de índices. Para simplificar la notación, en esta respuesta podemos utilizar un híbrido convenio de sumación de donde las sumas de $A$ están implícitos y los mayores de $\mathbb R^d$ son explícitas. En otras palabras, repetidas DeWitt índices se suman a lo largo de los discretos índices de solo, a menos que exista una explícita símbolo de la adición, en cuyo caso también se suma sobre el continuo de los índices.

Considere la posibilidad de la transformación infinitesimal $$\begin{equation}\tag2 \phi^i\to\phi^i+\epsilon^aF_a^i[\phi]+\mathcal O(\epsilon^2) \end{equation}$$ donde $\epsilon^a$ es un conjunto de parámetros que coordinatise algunos Mienten Grupo en un parche que contiene el origen. En lo que sigue vamos a salir de la $\mathcal O(\epsilon^2)$ términos implícitos.

En virtud de esta transformación, el integrando en $Z$ se transforma a medida $$\begin{equation} \begin{aligned} S[\phi]&\to S[\phi]+\epsilon^a\partial_\mu J^\mu_a\\ \mathrm d\phi&\to \left(1+\epsilon^a \sum_iF^i{}_{a,i}\right)\mathrm d\phi \end{aligned}\tag3 \end{equation}$$

Como la transformación de $\phi\to \phi+\epsilon^aF_a$ no es nada sino un cambio de variables, la integral funcional permanece sin cambios. A partir de esto, es sencillo para obtener la (Ward-Takahashi-Slavnov-Taylor) identidades: $$\begin{equation}\tag4 \left\langle i\partial_\mu J^\mu_a+F^i_{a,i}+j_iF^i_a\right\rangle_j\equiv 0 \end{equation}$$

Es el segundo término lo que indica una anomalía. Este término generalmente incluye un seguimiento a través de los generadores de un semi-simple Mentira álgebra, la cual se desvanece, y una delta de Dirac evaluados en el origen, que diverge. Un regulatisation es necesario para dar sentido a este resultado que carece de significado. Si el segundo término sigue siendo distinto de cero después de que el regulador se retira, el actual $J$ se convierte anómala. De lo contrario, nos quedamos con la primera y la última, en cuyo caso obtenemos la misma expresión que en el OP (aunque con algo un poco diferente notación).

Me corto, la anomalía de la función de la transformación de $\phi\to\phi+\epsilon^a F_a$ es $$\begin{equation} \partial \cdot J_a=F^i_{a,i} \end{equation}$$ que tiene que ser calculada por medio de algunos explícito de regularización.

La respuesta a la segunda pregunta es: en general, no.