¿Cuál es el cierre algebraico de $\mathbb F_q$ ?

Question

¿Cuál es el cierre algebraico de $\mathbb F_q$ con $q$ siendo alguna potencia de un primo $p$ ?

Escribí, "el cierre algebraico" porque, son lo mismo hasta el isomorfismo ¿no?

No puede ser finito, de lo contrario no es algebraicamente cerrado, entonces ¿cómo es?

Answer 1

Dados los campos finitos $\mathbb{F}_{p^m}$ y $\mathbb{F}_{p^n}$ con $\gcd(m, n) = 1$ entonces el compositum es el campo finito $\mathbb{F}_{p^{mn}}$ . Esto nos permite definir el cierre algebraico de $\mathbb{F}_{p}$ como la sindicato $$ \overline{\mathbb{F}_{p}}=\bigcup_{k\ge 1} \mathbb{F}_{p^k}. $$ Para las primeras potencias $q=p^n$ el cierre algebraico $\overline{\mathbb{F}_{q}}$ se puede construir construyendo y pegando $\ell$ -Torres de la India $$ \mathbb{F}_{q}\subset \mathbb{F}_{q^{\ell}}\subset \mathbb{F}_{q^{\ell^2}}\subset \cdots $$ véase aquí para un algoritmo y una imagen impresionante en la página $5$ .