Un problema con el Kuratowski par ordenado definición

Question

Recientemente me encontré con el Kuratowski definición de pares ordenados (https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_pair#Defining_the_ordered_pair_using_set_theory).

Estoy un poco confundida acerca de cómo las coordenadas pueden ser extraídos. De acuerdo a Wikipedia, si tenemos un par ordenado $p = (a,b) = \{\{a\}, \{a,b\}\}$, podemos extraer la primera coordinar con $a = \bigcup \bigcap{p}$ donde $\bigcup$ $\bigcap$ son arbitrarias de uniones e intersecciones, respectivamente.

De acuerdo a la definición de una intersección arbitraria, $\bigcap(\{\{a\}, \{a,b\}\}) = \{a\}$. $\bigcup\{a\}$ sin embargo parece un poco problemático. Para la definición de una arbitraria de la unión para el trabajo $a$ tendría que ser un conjunto. Lo que si $a$, por ejemplo, es un número natural? Un problema similar ocurre con la extracción de la segunda pareja.

Tal vez estoy siendo demasiado pedante o no la definición que acaba de asumir automáticamente que $a$ $b$ son conjuntos?

Answer 1

Esto no es un problema cuando usted recuerde que en la moderna teoría de conjuntos, todo es un conjunto (incluso los números naturales!). En particular, $a$ es un conjunto.

Por lo $\bigcup\{a\}$ tiene sentido de nuevo, y no es difícil ver por qué usted consigue $a$.

Si usted quiere tomar algunas cosas como no son conjuntos, entonces usted necesita para definir la clase de las funciones de $\varphi_1(z,x)$ $\varphi_2(z,y)$ que dice básicamente que $z$ parece un Kuratowski par ordenado, y $x$ es el único elemento que aparece en $\bigcap z$; y $\varphi_2$ diría una cosa similar acerca de cómo extraer $y$$z$.

Answer 2

En este contexto todo, incluyendo números naturales, funciones, espacios de Hilbert, etc., se presenta codificada como un conjunto, como en este caso un par ordenado se presenta codificada como un conjunto.

Entonces se convierte en la tentación de decir que todo es un conjunto. Esa declaración es aceptar si se restringen a todo su contexto adecuado. Esta forma de codificación de las cosas sirve a unos fines, pero que no necesariamente sagrado o la última palabra para toda la eternidad.