¿Cómo puedo resolver esta ecuación diferencial lineal $y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=\frac{1}{1+e^{-x}}$ ?

Question

Mi problema es resolver esta ecuación diferencial lineal: $$y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

Mi enfoque era: veo que debe ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Si dejo que $y^{\prime} = z$ Yo lo conseguiría:

$$z^{\prime}-4z+3y=\frac{1}{1+e^{-x}}$$ ... en este punto tengo un problema en el sustituto y. Así que no puedo usar este método. Otro intento fue:

$$3y=-y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+\frac{1}{1+e^{-x}}$$

$$y=-\frac{y^{\prime\prime}}{3}+\frac{4y^{\prime}}{3}+\frac{\frac{1}{1+e^{-x}}}{3}$$ Pero esto parece no llevarme a ninguna parte.

Answer 1

Resolvamos este problema mediante la variación de los parámetros.

Se nos da:

$$y''-4y'+3y=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$$

La ecuación homogénea asociada es $y'' - 4 y' + 3 y = 0$ que tiene una solución complementaria de:

$$y_c = c_1 e^x + c_2 e^{3x}.$$

Para encontrar la función de Green, necesitamos el Wronskian de $(y_1(t), y_2(t))$ de la solución homogénea, por lo que dejamos que $y_1 = c_1 e^t$ y $y_2 = c_2 e^{3t}$ Así pues, tenemos:

$$\text{Wronskian} = W(t) = \text{Wronskian} (c_1 e^t, c_2 e^{3t}) = 2 c_1 c_2 e^{4 t}$$

Para formar la función de Green, tenemos:

$$G(x, t) = \dfrac{y_1(t)y_2(x) - y_1(x)y_2(t)}{W(t)} = \dfrac{c_1e^t c_2e^{3x} - c_1e^x c_2e^{3t}}{2 c_1 c_2 e^{4 t}} = \dfrac{1}{2}\left(e^{-3t}e^{3x} - e^x e^{-t}\right)$$

Para este problema, tenemos $f(t) = \dfrac{1}{1 + e^{-t}}$

Para encontrar la solución particular, establecemos y resolvemos:

$$y_p = \int G(x, t)f(t)dt = \int \dfrac{1}{2}\left(e^{-3t}e^{3x} - e^x e^{-t}\right)\left(\dfrac{1}{1 + e^{-t}}\right) dt$$

Estas dos integraciones dan como resultado:

$$\displaystyle y_p(x) = -\frac{e^x x}{2}+\frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} e^{3 x} \ln(e^{-x}+1)+\frac{1}{2} e^x \ln(e^x+1) -\frac{1}{4}e^x$$

Por supuesto, para formar la solución final, tenemos:

$$\displaystyle y(x) = y_c + y_p = c_1 e^x+c_2 e^{3 x}-\frac{e^x x}{2}+\frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} e^{3 x} \ln(e^{-x}+1)+\frac{1}{2} e^x \ln(e^x+1)-\frac{1}{4}e^x$$

Nota: Podemos combinar el $e^x$ en una única constante $\left(c_1 - \dfrac{1}{4}\right)e^x$ o simplemente $c_1 e^x$ pero lo he dejado de esta forma para que puedas trabajarlo y duplicar los pasos.

Answer 2

En primer lugar, considere la ecuación homogénea , $$y''-4y'+3y=0$$ El polinomio característico para esta ecuación es $m^{2}-4m+3=(m-1)(m-3)$ . Por lo tanto, la solución general de la ecuación homogénea es $$y=Ae^{x}+Be^{3x} $$ para $A,B$ dependiendo de las condiciones iniciales. Este es el solución complementaria .

Ahora, para resolver el caso inhomogéneo, necesitamos encontrar un integral particular de su ecuación - cualquier solución de la ecuación que no forme parte de la solución complementaria. No hay un método general para obtenerlas, y a menudo el truco consiste en intentar sumar múltiplos del lado derecho, o sus derivadas si éstas se repiten o terminan. No parece haber una expresión sencilla para la integral particular, y WolframAlpha da $$y=\frac{1}{2}(-xe^{x}+e^{2x}-e^{3x}\log(1+e^{-x})+e^{x}\log(1+e^{x}))$$ Para la solución general, basta con sumar estos dos elementos. Esto es todo lo que puedo decirte sobre la resolución de este tipo de ecuaciones; espero que haya métodos más avanzados que produzcan la integral particular más fácilmente.

Answer 3

Esta ecuación puede resolverse mediante transformadas de Laplace. Definiendo

$$Y(s) = \int_0^{\infty} dx \, y(x) \, e^{-s x}$$

La LT de $y'$ es $s Y(s) - y(0)$ la de $y''$ es $s^2 Y(s) - s y(0)-y'(0)$ . A continuación, puede derivar una ecuación para $Y(s)$ :

$$Y(s) = \frac{y(0) s-(y'(0)-4 y(0))}{(s-3) (s-1)} + \frac{F(s)}{(s-3) (s-1)}$$

donde

$$F(s) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+s}$$

es la LT del lado derecho. La LT inversa $y(x)$ se encuentra utilizando el teorema del residuo - el ILT es la suma de los residuos de los polos de $Y(s) e^{s x}$ . Como los polos son todos simples, podemos escribir la ILT como

$$f(x) = \left ( \frac{3}{2} y(0) - \frac12 y'(0) + \log{2}\right) e^x + \left (\frac{y'(0)}{2} - \frac{y(0)}{2} + \log{2} - \frac12 \right ) e^{3 x} + \\\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{e^{-k x}}{(k+1) (k+3)} $$

La suma es sencilla cuando se utiliza una descomposición parcial de la fracción y se recuerda la serie de Maclurin para $\log{(1+z)}$ . Me sale

$$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{e^{-k x}}{(k+1) (k+3)} = \frac12 e^{2 x} - \frac14 e^x - \frac12 e^x (e^{2 x}-1) \, \log{(1+e^{-x})} $$

Answer 4

Métodos posibles:

(1) Variación de los parámetros

(2) Reducción de la orden

(3) Coeficientes indeterminados (después de expandir $1/(1+e^{-x})$ en una serie en potencias de $e^{-x}$ ).