Unidades dentro de un logaritmo

Question

Tengo problemas para entender una integral aparentemente sencilla en un contexto físico. Echa un vistazo a $\int_{V_1}^{V_2} \frac{\mathrm{d}V}{V}$ que aparece en las expansiones isotérmicas (siendo V el volumen de un gas). Ahora, por supuesto, el resultado es $\ln{V_2}-\ln{V_1}$ o utilizando las leyes de los troncos $\ln{\frac{V_2}{V_1}}$ .

La primera expresión requeriría evaluar el logaritmo de una unidad de volumen, lo que a mi entender es imposible. Sin embargo, la segunda expresión tiene sentido. ¿Cómo se puede explicar esta aparente discrepancia?

Answer 1

¿Cómo se explica esta aparente discrepancia?

No hay discrepancia en el valor del diferencia de los troncos $$ \log(V_1)-\log(V_2) $$ y el valor del logaritmo del relación $$ \log{V_1/V_2}\;. $$ Y ninguno de ellos depende de la elección de las unidades. Esto se debe a que, tanto para la diferencia como para el cociente, las unidades se cancelan. Por ejemplo, supongamos que represento las "unidades" como un número "U" tal que $$ V=\alpha U\;, $$ donde $\alpha$ no tiene unidades.

Entonces $$ \log(V_1)-\log(V_2)=\log(\alpha_1 U)-\log(\alpha_2 U)=\log(\alpha_1)+\log(U)-\log(\alpha_2)-\log(U) $$ $$ =\log(\alpha_1)-\log(\alpha_2)\;. $$

Y, del mismo modo, $$ \log(V_1/V_2)=\log(\frac{\alpha_1 U}{\alpha_2 U})=\log(\frac{\alpha_1}{\alpha_2})\;. $$

No hay mucho más que decir que... Claramente, tratando de interpretar $\log(V_1)$ por sí solo no tiene sentido ya que al cambiar la unidad cambia el valor numérico... pero la interpretación y la sensibilidad del diferencia de los troncos tiene ciertamente sentido y es independiente de la elección de las unidades.

Answer 2

Si introduce alguna unidad $v$ en términos de los cuales se expresan los valores numéricos de $V_1,V_2$ , entonces se ve

$\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=\ln\left(\frac{V_2/v}{V_1/v}\right)=\ln\left(V_2/v\right)-\ln\left(V_1/v\right)$

Así que si $V_1$ y $V_2$ eran los límites de la integral de un solo signo integral, sólo es importante que te asegures de expresar el valor numérico de $V_1,V_2$ en la diferencia de las dos expresiones logarítmicas, como múltiplos de la misma escala arbitraria.

Escribir $\ln\left(V_2\right)-\ln\left(V_1\right)$ implica que les has fijado una unidad y no se ha subrayado explícitamente. La gente no se mete en problemas aquí porque el resultado es realmente independiente de la unidad, ya que al ser igual a $\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ demuestra.

Answer 3

En matemáticas, cuando ponemos un número x en ln x, suponemos que x pertenece a un campo, por lo que x debe ser un número adimensional. Así que es posible poner un número puro de x en ln x. Sin embargo, mucha gente parece no conocer la siguiente expresión de lnx como una expansión en serie infinita. In fact, lnx=2{(x-1)/(x+1)+(1/3)[(x-1)(x-1)(x-1)]/[(x+1)(x+1)(x+1)]+(1/5)[(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)]/[(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)]+,,,,,,,} . Así que ahora está claro que no podemos poner x en lnx si x tiene una dimensión.

He publicado estas cuestiones en los tres documentos:

1. Mayumi, K. y Giampietro, M. 2010. "Dimensiones y función logarítmica: A Short Critical Analysis" , Ecological Economics,Vol.69, pp. 1604-1609;
2. Mayumi, K., y Giampietro, M. 2012. "Respuesta a "Dimensiones y función logarítmica en economía: A comment"", Ecological Economics Vol. 75, pp. 12-14;
3. Mayumi, K., Giampietro, M., y Ramos-Martin, J. 2012. "Reconsideración de las dimensiones y la práctica del ajuste de curvas a la vista de la epistemología de Georgescu-Roegen en economía", Romanian Journal of Economic Forecasting, Vol.15, No.4, pp.17-35.