¿Qué es la lógica ?

Question

No, no estoy interesado en la filosofía de parte de esta pregunta :-)

Cuando miro a las matemáticas, veo que un montón de diferentes lógicas se utilizan : clásica, intuitionistic, lineal, modal queridos y más extrañas ...

Para alguien nuevo en el campo, no es fácil de ver realmente lo que tienen en común para justificar el uso de la palabra "lógica". Es simplemente porque de una filiación con la lógica clásica ?

He tratado de encontrar una respuesta en la literatura. Algunos papeles que me están diciendo que la lógica es un pre-orden. No es una respuesta satisfactoria para mí. Me imaginaba que puede estar relacionada con el uso de algunos conectores específicos : pero la lógica lineal me está diciendo que no es tan simple. Me imaginaba que puede estar relacionada con algunas de las propiedades de simetría de las reglas del sistema : pero depende de cómo la lógica en que se formaliza. Luego, tuve la loca idea (después de descubrir el Curry-Howard isomorfismo) que puede estar en relación con el cómputo de contenido del sistema. Pero, es obviamente erróneo.

Así que, no he progresado y todavía estoy preguntando si puede haber un punto de vista que permite ver lo que todos estos sistemas tienen en común ?

He evitado el uso de la palabra "verdad" en esta pregunta. Estoy esperando una respuesta matemática si es que hay uno. Hay demasiados problemas filosóficos relacionados con la noción de verdad.

Pero, tal vez mi pregunta es un ingenuo ...

Answer 1

Creo que debería haber una correspondencia entre la lógica y la clase de la categoría, por ejemplo,

(de orden superior?) la lógica clásica de primaria topos con algunas propiedades adicionales?
(de orden superior?) intuitionistic lógica elemental topos
la lógica lineal monoidal simétrica de la categoría con un objeto dualizing
lógica modal ?

No estoy seguro exactamente cómo mucho se puede decir acerca de las entradas en el derecho, sino como un comienzo, son todos de 2 categorías. Así que tal vez una lógica que puede ser visto como una (cierta) de 2 categoría.

Estaría agradecido si un experto en el tema podría ampliar esto en una respuesta real! Hay algo similar en el nlab página de lógica interna, pero no parecen estar diseñados específicamente para la pregunta formulada aquí.

Answer 2

Está usted familiarizado con Lindström de teoremas?

Se puede definir una "lógica" L, dando a la colección de la CE(L) de todas las clases de los modelos "L-axiomatizable," y suponemos que la CE(L) tiene unas buenas propiedades en cierre (cierre bajo finito intersecciones, teniendo complementa dentro de la clase de todas las estructuras con una determinada firma, cierre de tomar reducts a pequeñas firmas, y isomorfismo invariancia).

Decir que una lógica L_2 es más fuerte que la de una lógica L_1 iff cada clase en la CE(L_1) también está en la CE(L_2). Entonces uno de Lindström del teoremas dice que cualquier lógica que es más fuerte que la lógica de primer orden y satisface la compacidad y teorema de Löwenheim-Skolem debe ser la misma que la lógica de primer orden. (Ver Ebbinghaus y Flum de la Lógica Matemática, en el capítulo 12, para una prueba.)

Esto no parece aplicarse directamente a su pregunta acerca de modal y la lógica lineal, pero al menos para los de la lógica modal, la gente ha trabajado en la generalización de Lindström los resultados de, por ejemplo, aquí:

http://users.soe.ucsc.edu/~btencate/papers/lics2007full.pdf

Answer 3

La lógica es el de la construcción y el estudio de los modelos de razonamiento.

Hay muchas lógicas, porque tenemos la razón de diferentes maneras, dependiendo del contexto. Modalidad de muestra debido a que hay contextos en los que las declaraciones son calificados (puedo ser rico, pero también puedo ser muy ricos, y hay una diferencia entre las dos declaraciones, y una conexión de modalidad entre los dos, no capturado por la lógica clásica); la temporalidad se muestra debido a que a veces la razón con el tiempo; la lógica lineal muestra (entre otras razones) porque necesitamos de la razón sobre los recursos (Si tengo un dólar, Puedo comprar un caramelo - pero todos sabemos que no podemos llegar a utilizar la frase "no tiene un dólar" más de una vez... y esto es diferente de "Hay una infinidad de números primos", que no ha dejado de ser cierto para un muuuucho tiempo, y no esperamos a); paraconsistent lógicas se muestran debido a que debemos ser capaces de razonar en la presencia de conflictos de información, simplemente porque tendemos a tener información contradictoria; y así sucesivamente.

Por supuesto, uno se pregunta por qué los lógicos no conseguir su acto juntos y venir para arriba con una lógica para gobernarlos a todos... Bueno, puede que se espera para los físicos para envolver su gran teoría unificada de primera!

(N. B.: todo esto es precedido por una enorme "En mi opinión", por supuesto)

Answer 4

Creo que el marco que usted está buscando se puede encontrar en el pensamiento acerca de la "lógica" de las matemáticas en términos de un "lenguaje formal." Ver los artículos sobre los lenguajes formales en la Enciclopedia de las Matemáticas y en MathWorld y Wikipedia.

Answer 5

Yo no sé nada acerca de esto, pero se me ocurrió venir a través de ella, mientras que la lectura sobre el cierre de los operadores en la wikipedia: Universal de la Lógica.