Muchos ejemplos de Euler-Maclaurin de totalización son en realidad armónica sumas
y puede ser tratada por Mellin transformar los métodos.
En el presente caso poner
$$S(x) = \sum_{k\ge 1} e^{-x^2 k^2}$$
con lo que estamos interesados en $S(1/\sqrt{t})$
como $t\rightarrow\infty.$
Esta suma puede ser evaluado por la inversión de sus Mellin transformar.
Recordar que el armónico suma de identidad
$$\mathfrak{M}\left(\sum_{k\ge 1} \lambda_k g(\mu_k x);s\right) =
\left(\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} \right) g^*(s)$$
donde $g^*(s)$ es la transformada de Mellin $g(x).$
En el presente caso tenemos
$$\lambda_k = 1, \quad \mu_k = k
\quad \text{y} \quad
g(x) = e^{-x^2}.$$
Necesitamos la Mellin transformar $g^*(s)$ $g(x)$ que es
$$\int_0^\infty e^{-x^2} x^{s-1} dx.$$
El uso de la sustitución de $x^2 = u$, de modo que $2x \; dx = du$ para obtener
$$\int_0^\infty e^{-u} u^{1/2s-1/2} \frac{1/2 \; du}{\sqrt{u}}
= \frac{1}{2}
\int_0^\infty e^{-u} u^{1/2s-1} du =
\frac{1}{2} \Gamma(s/2).$$
Los fundamentales de la tira de esta transformación es Mellin
$\langle 0,\infty\rangle.$
De ello se desprende que la Mellin transformar $Q(s)$ de la suma de armónicos
$S(x)$ está dado por
$$Q(s) = \frac{1}{2} \Gamma(s/2) \zeta(s)
\quad\text{porque}\quad
\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} =
\sum_{k\ge 1} \frac{1}{k^s}
= \zeta(s)$$
para $\Re(s) > 1.$
El Mellin de inversión integral para esta transformación es $$\frac{1}{2\pi i}
\int_{3/2-i\infty}^{3/2+i\infty} P(s)/x^s ds$$ que nos evaluar por
desplácelo hacia la izquierda para una expansión de alrededor de cero (hay que recordar que como
$t\rightarrow\infty$ tenemos $1/\sqrt{t}\rightarrow 0.$)
Observar que los polos están en $s=1$ a partir de la función zeta y a término
el no positivo números enteros a partir de la función gamma plazo. Sin embargo
todos ellos, excepto el uno a cero se cancela por el trivial
los ceros de la función zeta plazo, dejando sólo los polos $s=0$ y
$s=1.$
Para estos dos que hemos
$$\mathrm{Res}\left(Q(s)/x^s; s=1\right) =
\frac{1}{2} \Gamma(1/2)\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2x}$$
y
$$\mathrm{Res}\left(Q(s)/x^s; s=0\right) =
\frac{1}{2} \times 2 \times -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.$$
De ello se sigue que como $t\rightarrow\infty$ hemos
$$S(1/\sqrt{t}) \sim \frac{1}{2} \sqrt{\pi t} - \frac{1}{2}$$
y, en particular,
$$2S(1/\sqrt{t})+1 = \sum_{k=-\infty}^\infty e^{-k^2/t}
\sim \sqrt{\pi t}.$$
Como para el término de error si hemos cambiado la integral a la línea de
$\Re(s) = -q/2$ $q>1$ $q$ impar tenemos para la norma de la
zeta función plazo en la línea de $-q/2+iv$ de los dependientes de $|v|^{1/2+q/2}$ y el
la función gamma plazo decae exponencialmente en $v$ a lo largo de las líneas verticales
y en $q$ a los valores en $-q/2$, por lo que el término de error decae exponencialmente también.
