¿Cuál es el estado de equilibrio para una segunda derivada igual a cero?

Question

Considerando una energía potencial de $U$, y un desplazamiento de $x$, la fuerza está dada por

$F=-\frac{\partial U}{\partial x}$.

Dado que el equilibrio se define como el punto en el que $F=0$, podemos expresar esto como $\frac{\partial U}{\partial x}=0$. Esto se observa claramente en el siguiente gráfico;

También es evidente que algunos de los equilibrios son estables y otros no; dado un pequeño desplazamiento en $x_2$ el sistema volverá a su estado de equilibrio, mientras que esto no sucedería en $x_3$. Por lo tanto, podemos decir que para $\frac{\partial ^2U}{\partial ^2x}>0$ el equilibrio es estable, mientras que para $\frac{\partial ^2U}{\partial ^2x}<0$ el equilibrio es inestable. Hay una solución general para este caso, o no cada uno tiene que ser considerado de forma individual?

Lo que no me queda claro en el caso de las $\frac{\partial ^2U}{\partial ^2x}=0$. ¿Esto simplemente significa que el equilibrio es estable dado un desplazamiento en una dirección y el otro no, o es más complicado - por ejemplo, si una partícula se fueron a oscilar alrededor de un punto de equilibrio estable, su movimiento sería humedecido hasta que se fueron al descanso, pero esto no sería posible en un punto en el $\frac{\partial ^2U}{\partial ^2x}=0$; si la partícula se desplace hacia el lado donde $\frac{\partial ^2U}{\partial ^2x}<0$, no iba a volver al punto de equilibrio. Hay una solución general para este caso, o cada caso han de ser considerados por la inspección?

Answer 1

Considere los siguientes potenciales:

\begin{align} U(x) &= x^4 \\ U(x) &= x^6 - x^4 \\ U(x) &= x^4 + x^3 \end{align}

Todos los tres de estos potenciales tienen un punto de equilibrio en $x = 0$. Todos los tres de estos potenciales son tales que la derivada segunda de $U(x)$ a este punto de equilibrio es cero. Sin embargo, usted debe convencer a ti mismo (tal vez por el trazado de estos potenciales) que en el primer caso el equilibrio es estable, en el segundo caso es inestable, y en el tercer caso el equilibrio es, como usted ha dicho, "estable en una sola dirección, pero inestable en el otro".

La moraleja es: sabiendo sólo que la segunda derivada es cero no nos dice nada acerca de la estabilidad. Necesitamos mirar más derivados, si queremos saber más.

Answer 2

En primer lugar usted tiene una idea imprecisa acerca de la estabilidad: también pequeñas velocidades, no sólo por pequeños desplazamientos del equilibrio. Un equilibrio $x_0$ es estable si el movimiento se limita a alrededor de $x_0$ y su velocidad es confinado en torno a la desaparición de la velocidad para cada momento positivo, para cada condición inicial cerca de $x_0$ y cada una velocidad inicial cerca de $0$ tiempo $t=0$.

En otras palabras, de acuerdo a la teoría general de estabilidad (por ejemplo, ver Arnold o Fasano-Marmi los libros de texto) el equilibrio $x_0$ es estable (en el futuro) si

la fijación de un vecindario $U$$(x_0,0)$, existe un segundo vecindario $V\subset U$ $(x_0,0)$ tal que, a cada par de condiciones iniciales $x(0)=y_0$ $\dot{x}(0) = \dot{y}_0$ $(y_0, \dot{y}_0) \in V$ da lugar a una moción $x=x(t)$ tal que $(x(t), \dot{x}(t)) \in U$ por cada $t\in (0, +\infty)$.

Un teorema (como arriba me restringir a mí mismo para el caso unidimensional) demuestra que si todas las fuerzas conservadoras , a continuación,

(a) una configuración de $x_0$ es un equilibrio si y sólo si $\frac{dU}{dx}|_{x_0}=0$,

(b) un punto de equilibrio $x_0$ es estable si $U$ tiene un estricto mínimo en $x_0$ ($U(x)>U(x_0)$$x\neq x_0$ en un barrio de $x_0$).

(c) un punto de equilibrio $x_0$ es inestable si $\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}>0$.

La condición en (b) se satisface si $\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0} <0$, pero esto es sólo una condición suficiente (creo que de $U(x)=x^4$$x_0=0$, es evidentemente estable y satisface (b), sino $\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}=0$).

Sigue abierto el caso de $\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}=0$. Tiene que ser estudiado caso por caso. Sin embargo en ciertos casos son fáciles. En particular, considere la posibilidad de cualquier punto de $x_0 > x_5$ en su imagen. Es claro que la condición en (a) es verdadera, por lo que el $x_0$ es un equilibrio y también a $\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}=0$.

Sin embargo, tal vez, por el contrario, a la ingenua idea, $x_0>x_5$ es inestable. De hecho, si usted comienza con una condición inicial $x(0) = y_0$ arbitrariamente cerca de $x_0$ y una velocidad de $\dot{x}(0) = \dot{y}_0 > 0$ arbitrariamente cerca de $0$, el surgimiento del movimiento es $x(t) = \dot{y}_0 t + y_0$ y, a la espera de una lo suficientemente grande de tiempo $t>0$, $x(t)$ las salidas de cada sector de $x_0$ fijado inicialmente.

(Declaración de (b) es hoy en día una escuela primaria subcase de un famoso teorema debido a Lyapunov, pero una prueba de que ya era conocida por Lagrange y de Dirichlet. Como cuestión de hecho, la energía total $E(x, \dot{x})$ es una función de Lyapunov para el sistema para el punto crítico de la $(x_0,0)$ al $U$ tiene un estricto mínimo en $x_0$.)

Answer 3

Taylor ampliar la fuerza de $F(x) = -U'(x)$$x = x_0$:

$$F(x_0 + \Delta x) = -U'(x_0) - U''(x_0)\Delta x - \frac{1}{2}U'''(x_0)(\Delta x)^2 + \cdots$$

Estipulan que $F(x_0) = 0$ y, a continuación,

$$F(x_0 + \Delta x) = -U''(x_0)\Delta x - \frac{1}{2}U'''(x_0)(\Delta x)^2 + \cdots$$

En el caso de que $U''(x_0) \gt 0$, $\Delta x$ pequeña, la fuerza es aproximadamente lineal fuerza de restauración.

Sin embargo, en el caso de que $U''(x_0) = 0$ (y al menos uno de orden superior derivada es distinta de cero), entonces para $\Delta x$ pequeña, la fuerza es no-lineal y no necesariamente una fuerza de restauración.

Por ejemplo, si $U'''(x_0) \ne 0$, entonces el signo de la fuerza no cambia como $\Delta x$ pasa a través de cero; la fuerza es opuesta al desplazamiento en una dirección y con el desplazamiento en la otra dirección (que será la unidad de la partícula lejos de $x=x_0$).

Para la fuerza de restauración en caso de que $U''(x_0) = 0$ requiere que el menor no de orden cero de la derivada (más que el 2º) ser de orden y positivo