Ecuación funcional $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R^*}$ sea una función tal que $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}$ . Demostrar que $f(x)=1,\forall x\in\mathbb{R}$ .

He conseguido demostrar lo siguiente:

1) $f(0)=1$

Establecer $x=y=0$ Así que..: $f(0)=f^2(0)\Rightarrow f(0)=0\lor f(0)=1$ . No podemos tener $f(0)=0$ ya que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R^*}$ Así que $f(0)=1$ .

2) $f(x)=f(-x),\forall x\in\mathbb{R}$

Establecer $x=0$ Así que..: $f(y)+f(-y)=2f(y)\Rightarrow f(y)=f(-y)$

3) $f(x)=2f^2\left( \frac{x}{2}\right) -1$

Establecer $y=x$ Así que..: $f(2x)+1=2f^2(x)\Rightarrow f(2x)=2f^2(x)-1$ y el ajuste donde x, $x/2$ nos encontramos con que: $f(x)=2f^2\left( \frac{x}{2}\right) -1\Rightarrow f(x)>-1$

No puedo avanzar más... ¿Alguna pista?

Answer 1

Bueno, $f(x)=\cosh(a\cdot x)$ para cualquier constante $a$ parece coincidir con la ecuación, por lo que puede tener dificultades para demostrar que $f(x)\equiv1$ .

En cuanto a si esta solución (o más bien, una familia de ellas) es única o no, espero que lo sea si exigimos continuidad, pero esa es otra historia.

Answer 2

Se conoce como ecuación funcional de D'Alembert cuando es de la forma $\mathbb R$ a $\mathbb R$ y se sabe que las únicas funciones continuas $f$ que lo satisfacen son

$$f(x)=0, f(x)=1, f(x)=\cos(kx), f(x)=\cosh(kx)$$

para un determinado $k \in \mathbb R$ .

Por supuesto, sólo $f(x)=1, f(x)=\cosh(kx)$ estadificar su condición $f(x)>0$ para todos $x$ .

Answer 3

Fijo $s\in \mathbb{R}$ y definir $g(x):=f(x+s)-f(x-s)$ y considerar $$m(x)=f(x)+ag(x)$$ para todos $x\in \mathbb{R}$ , donde $a$ es constante. Entonces se puede demostrar que $$m(x+y)=m(x)m(y)$$ y $$f(x)=\frac{1}{2}(m(x)+m(-x))$$ y seguir el camino fácil.

Una pista. La siguiente ecuación funcional se denomina La ecuación funcional de D'Alembert $$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)..$$ Ver aquí para más.