Para la construcción de la Piedra-Čech compactification $\beta X$ de un espacio de Tychonoff utilizando ultrafilters, deje $\beta X$ ser el conjunto de todos los ultrafilters en el cero conjuntos de $X$. La base se mencionó anteriormente (donde los conjuntos de $V$ cero conjuntos) sería entonces el $closed$ base de su topología. Por supuesto, cuando se trata con espacios discretos como $\omega$, cualquier subconjunto es una puesta a cero, así que usted considere ultrafilters en $\mathcal P(X)$. Demostrar que el natural de la asignación de los puntos de $\omega$ a principal ultrafilters $x\to\{V\subseteq\omega:x\in V\}$ es uno-a-uno. Entonces usted necesita para probar esto define una incrustación, que $\beta\omega$ es compacto Hausdorff, y que $\omega$ es denso en $\beta\omega $. Resulta que el conjunto de base $\overline V$ es el cierre de $V$$\beta\omega$. Desde aquí se puede demostrar que sea distinto de cero conjuntos (arbitraria de subconjuntos en este caso) tienen distintos cierres en $\beta\omega$. Esta es una de varias propiedades equivalentes que únicamente determinan $\beta\omega$ hasta homeomorphism.
Recuerde que ultrafilters son máximas colecciones w.r.t. la intersección finita de la propiedad.
Si $u$ es un filtro en $\mathcal P(X)$, $u$ es un ultrafilter iff cada subconjunto de $X$ que se cruza cada elemento de a $u$ es un elemento de $u$ fib para cada $A\subseteq X$, $A\in u$ o $X\setminus A \in u$.
