producto de hermitian y unitaria de la matriz

Question

Podría alguien decirme cómo demostrar que, para cualquier $g\in GL_n(\mathbb{C})$, $\exists$ $R$ un hermitian matriz de autovalores positivos y $U$ una matriz unitaria tal que $g=RU$?

Y (no estoy seguro), podemos utilizar esto para probar que $GL_n(\mathbb{C})$ está conectado?Es el conjunto de hermitian matrices positivas eigen valores de ruta de acceso conectado?

Answer 1

1) el conjunto de la diagonal de las matrices es la ruta de acceso conectado: si $A=\sum a_j E_{jj}$, $B=\sum b_j E_{jj}$ tomamos el mapa $t\mapsto \sum (ta_j+(1-t)b_j) E_{jj}$, $t\in[0,1]$.

2) El conjunto de unitaries es el camino conectado. Si $U,V$ son dos unitaries, que siempre se puede escribir como $U=e^{iA}$, $V=e^{iB}$ con $A,B$ hermitian. Entonces podemos considerar el mapa $t\mapsto e^{itA}e^{i(1-t)B}$, $t\in[0,1]$ que da a un camino de $U$ $V$en el grupo unitario.

3) El conjunto de invertible hermitian matrices con autovalores positivos es el camino conectado. Si $A,B$ son así, entonces $A=UD_AU^*$, $B=VD_BV^*$. Por partes 1) y 2), existen continuas $f,g:[0,1]\to M_n(\mathbb{C})$ con $f(0)=D_A$, $f(1)=D_B$, $g(0)=U$, $g(1)=V$. A continuación, $t\mapsto g(t)f(t)g(t)^*$ es continua y se lleva a $A$$B$. Tenga en cuenta que la forma en que $f$ se define garantiza que $f(t)$ tienen autovalores positivos para todos los $t\in[0,1]$.

4) GL$_n(\mathbb{C})$ está conectado: Dado $A,B$ invertible, podemos escribir como $A=RU$, $B=SV$ con $R,S$ hermitian y positivo, y $U,V$ unitaries. 3) y 2) podemos encontrar funciones continuas $f,g:[0,1]\to M_n(\mathbb{C})$ con $f(0)=R$, $f(1)=S$, $g(0)=U$, $g(1)=V$. A continuación, el mapa de $t\mapsto f(t)g(t)$ es un continuo camino de $A$ $B$(tenga en cuenta que $f(t)$ $g(t)$ son invertible para cada $t\in[0,1]$ y, a continuación, también lo es su producto).

Sólo queda para justificar la descomposición polar $A=RU$. Una forma sencilla de ver esto es mediante la descomposición de valor singular. Escribimos $A=WDV$, $W,V$ unitaries y $D$ diagonal con los no-negativo entradas (positivo si $A$ es invertible). Entonces podemos escribir $$ A=(WDW^*)WV=RU, $$ donde $R=UDU^*$ es hermitian con autovalores positivos (porque $D$ es), y $U=WV$ es unitaria.

Answer 2

Así es como yo lo haría.

Suponga que la matriz tiene una expresión $A=HU,$ donde $H$ es positivo-definida Hermitian matriz y $U$ es unitaria (invirtiendo la expresión que obtener una descomposición polar en el sentido inverso, es decir, la escritura de la descomposición polar para $A^{-1}$ y, a continuación, invertir de nuevo se obtiene $A=U' H'$).

Si $A=HU$, donde ambos se $H, U$ tienen un peculiar comportamiento con respecto a la involución $A\mapsto A$, entonces ¿cómo podemos encontrar a $H, U$?

Se aplican $^*$ a la identidad de los rendimientos $$A^*=U^{-1}H.$$ Así, es tentador para multiplicar $$AA^*=H^2.$$

Si $A$ es invertible, que es el caso, el l.h.s. es positiva definida! De hecho, basta con escribir $$\langle x, AA^*x \rangle = \langle A^*x, A^* x\rangle > 0$$ para $x\neq 0.$

Usted tendría que encontrar positiva definida Hermitian matrices $H$ cuyo cuadrado es $A A^*.$ Pero entonces uno tiene el siguiente Lema.

Lema Para cada positivo-definida Hermitian matriz $B$, existe una única positivo-definida Hermitian raíz cuadrada $H$.

Prueba: de Hecho, el autoespacio $Ker(B-\lambda^2)$ donde $\lambda$ es la raíz cuadrada positiva de un autovalor $\mu$$B$, juega un papel aquí. Uno tiene

$$Ker(B-\lambda^2)=Ker(H^2-\lambda^2)=Ker((H+\lambda)(H-\lambda)).$$ Desde $H$ es positiva definida, uno tiene que $H+\lambda$ es no singular, es decir, invertible, por lo que

$$Ker(B-\mu)=Ker(H-\sqrt{\mu}).$$ Thus $\mathbb{C}^n$ is a direct sum of eigenspaces $Ker(H-\lambda)$ where $H$ acts as multiplying by $\lambda$, which renders $H$ únicas.

Como para $U$, usted tendrá que demostrar que $U$ así elegido para $A=HU$ es unitaria (es decir, comprobar si la definición de unitarity tiene por $U$).