Puede cruzar los productos definirse sin coordenadas?

Question

Recientemente he aprendido acerca de los productos cruzados y entiende que la cruz de los productos puede ser calculada sin un origen y coordenadas en tres dimensiones, como los vectores pueden ser definidos sin coordenadas.

Pero hoy me acabo de encontrar esta declaración en un libro de texto de cálculo: La cruz del producto $A \times B$ se define en tres dimensiones sólo. A y B yacen en un plano que pasa por el origen.

Debido a la observación sobre el origen de arriba, me empecé a preguntar si tengo los conceptos básicos de la derecha.

Este es mi entendimiento. Basada en la definición de $\vec a \times\vec b=(||\vec a||||\vec b||\sin\Theta)\vec n$, somos capaces de calcular la cruz de los productos con información acerca de las magnitudes de los dos vectores, un ángulo entre ellos y en una dirección dada por la mano derecha de la regla. Por lo tanto transversal productos pueden ser definidas sin un origen y coordenadas.

Así que creo que el avión en el que a y B se encuentran por encima no es necesario que pase por el origen. Es correcto?

Answer 1

Su razonamiento es correcto. De hecho, la parte esencial de un adecuado concepto de la geometría, es la capacidad para definir sin la elección particular de coordenadas.

El "3D" sólo el carácter de la cruz del producto proviene del hecho de que en las dimensiones superiores de dos vectores, y el avión en el que comparten no define exactamente una dirección perpendicular (como en el 3D caso), como su se $N-2$ instrucciones donde $N$ es la dimensión. Sin embargo, puede definir un producto de $N-1$ vectores que va a ser una generalización de la cruz producto de una $N$espacio tridimensional. Sólo hay una direcion a la izquierda por la N-cruz del producto", por lo que sólo está a la izquierda con la magnitud y la orientación (señalando el de la flecha) para definir.

Como para la magnitud de un vector, la fórmula $\vec{a} \times \vec{b} = |a|\cdot |b| \sin{\theta}$ (estoy siendo muy informal ahora) viene del hecho, que deseamos para el $|\vec{a} \times \vec{b}|$ a ser igual a un área de un paralelogramo con lados de $a$$b$.

La orientación es elegido como tal, que $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{a} \times \vec{b}$, consecutivamente: dedo índice, dedo medio y el pulgar (también conocido como la regla de la mano derecha).

La correcta definición matemática es un poco complicado y requiere algo de álgebra lineal, y es por eso que normalmente los libros de texto de lucha con la forma de presentar el tema, mientras que tratando de ser estricto y a menudo recurren a definir un "coordinar" sólo la versión de la definición.

Si usted quiere saber más acerca de los formales algebraicas definición, se puede comprobar la cuña de producto: http://en.wikipedia.org/wiki/Wedge_product