Von Neumann la entropía de una mezcla coherente de los estados

Question

Estoy tratando de calcular la entropía de Von Neumann de estadística mezclas coherente de los estados. El problema es que esos estados son, en general, no-Gaussiano, así que uno no puede seguir el formalismo desarrollado aquí: Phys. Apo. 59, 1820 (1999). ¿Alguien tiene consejos sobre cómo calcular la $$Tr[\rho\log[\rho]],$$ for $$\rho = \sum_i p_i |\alpha_i\rangle\langle\alpha_i|~?$$

Answer 1

Parece que he descubierto una respuesta para 2 términos en el estado original. Supongamos que el estado es

$$\rho = a |\alpha \rangle \langle \alpha | + (1-a) |\beta\rangle \langle \beta|$$

Tenemos que escribir en una base, que es $$|+\rangle = \frac{|\alpha\rangle + |\beta\rangle}{\sqrt{2}}; \quad |-\rangle = \frac{|\alpha\rangle - |\beta\rangle}{\sqrt{2}}.$$

Los elementos de la nueva matriz de densidad de $\rho^\pm$ $$\rho_{11}=\langle+|\rho|+\rangle; \quad \rho_{12}=\langle+|\rho|-\rangle; \quad \rho_{21}=\langle-|\rho|+\rangle; \quad \rho_{22}=\langle-|\rho|-\rangle;$$ Y así es: $$\rho^\pm=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}(1+k)^2 & (2a-1)(1-k^2) \\ (2a-1)(1-k^2)& (1-k)^2 \end{pmatrix},$$ where $k=\langle \alpha |\beta \rangle$.

Ahora es posible calcular la entropía. La dependencia de la entropía en el parámetro de $a$ y la separación entre los estados $d$, $\langle \alpha |\beta \rangle = \exp{(-d^2)}$ parece razonable:

Es cero en el cero de la separación, ya que el estado es puro y que también va a $0$ al $a = 1$ o $0$.

Edit: Gracias a Jess Riedel para las instrucciones.