$z=100^2-x^2$. Entonces, ¿cómo muchos de los valores de $x,z$ son divisibles por $6$?

Question

$z=100^2-x^2$. Entonces, ¿cómo muchos de los valores de $x,z$ son divisibles por $6$?

Mi planteamiento:

Para $x=1$, $z$ no es divisible por $6$.

Para $x=2$, $z$ es divisible por $6$.

Para $x=3$, $z$ no es divisible por $6$.

Para $x=4$, $z$ es divisible por $6$.

Para $x=5$, $z$ no es divisible por $6$.

Para $x=6$, $z$ no es divisible por $6$.

Para $x=7$, $z$ es divisible por $6$.

Para $x=8$, $z$ es divisible por $6$.

Yo no podía identificar el patrón en estas preguntas. También este problema puede ser resuelto con un mejor enfoque?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$z=100^2-x^2=(100-x)(100+x)$$

Como $(100-x)+(100+x)=200,100\pm x$ tienen la misma paridad y

si uno es divisible por $3,$el otro no es

Así que si $2|z,100\pm x$ debe ser aún

Si $3|z,3|(100-x)(100+x)\implies$

cualquiera de las $3|(100-x)\iff x\equiv1\pmod3$

o $3|(100+x)\iff x\equiv-1\pmod3$

Answer 2

Sólo una forma diferente para resaltar lo que ya se ha señalado acertadamente, y para explicar por qué la respuesta podría ser $66$, como se indica en uno de los comentarios iniciales por el autor de la OP. Para evitar confusiones, me interpretar el problema como la cuestión de cómo muchos de los valores de $x$ conducir a un resultado positivo $z$ que es divisible por $6$.

Partamos de $z=(100-x)(100+x)$, donde los dos factores de $100-x$ $100+x$ claramente tienen la misma paridad. En primer lugar, podemos observar que la única posibilidad de que el $z$ es divisible por $6$ se produce cuando al menos uno de estos dos factores es divisible por $6$. De hecho, si alguno de los dos factores es divisible por $3$ e no $2$, el otro factor que tampoco es divisible por $2$, y por lo $z$ no puede ser divisible por $6$.

A continuación, podemos observar que a lo $100-x$ es divisible por $6$ sólo al $x=6j+4$ ($j$ entero), mientras que $100+x$ es divisible por $6$ sólo al $x=6j+2$.

Si limitamos el problema de las soluciones que dan a los valores positivos de $z$ (aunque esto no está especificado en la OP), a continuación, $|x|$ sólo puede tomar valores enteros $<100$. No es difícil darse cuenta de que no se $16$ enteros positivos $<100$ de la forma $x=6j+4$ (se $4,10,16,22...94$) y $17$ enteros positivos $<100$ de la forma $x=6j+2$ (se $2,8,14,20...98$). Por lo tanto, hay $33$ número entero positivo de los valores de $x$ que conducen a una $z$ valor que es divisible por $6$.

Por último, debido a que cada una de estas soluciones con un dado positivo $x$ corresponde a otro simétrica solución con $-x$, tenemos que contar otras $33$ valores negativos de $x$. Esto conduce finalmente a un total de $66$ soluciones.

Answer 3

Creo que es una buena idea para que el problema es el uso de modulos. Así, el problema puede ser escrito como este $$ z=4-x^2 \text{ }mod(6), $$ Sabemos que $100=96+4=4\quad mod(6)$. Por lo $100^2=(100)*(100)=4*4=16=12+4=4\quad mod(6)$. Si $z$ es divisible por $6$,$z=0\quad mod(6)$. Para todo esto tenemos que encontrar a $x$ tal que $$ x^2=4\quad mod(6). $$ Tenemos que hacer una tabla donde podemos analizar el $x^2\quad mod(6)$.

Para $x=0$, $x^2=0$ y $x^2=0\quad mod(6)$.

Para $x=1$, $x^2=1$ y $x^2=1\quad mod(6)$.

Para $x=2$, $x^2=4$ y $x^2=4\quad mod(6)$.

Para $x=3$, $x^2=9$ y $x^2=3\quad mod(6)$.

Para $x=4$, $x^2=16$ y $x^2=4\quad mod(6)$.

Para $x=5$, $x^2=25$ y $x^2=1\quad mod(6)$.

Así, la última propuesta implica que $x=2 \quad mod(6)$ o $x=4 \quad mod(6)$.

En resumen, si $x=2+6m$ o $x=4+6n$$m,n\in\mathbb{Z}$. A continuación, $z$ es divisible por $6$. Hay infinidad de soluciones.